Упрощение формулы

[wpoms.]

`t` - действительное число. Обозначим `a_n = 2cos(t/2^n) - 1`, `n = 1, 2, 3, ...` и определим `b_n` как произведение `a_1a_2a_3 ... a_n`. Найдите формулу для `b_n` не использующую произведение `n` множителей и выведите, что `lim_{n->oo} b_n = (2 cos t + 1)/3` .

@темы: Пределы, Тригонометрия, Тождественные преобразования

Comments

[Adjirranirr]

не использующую произведение `n` множителей

`b_n = exp (\sum_{k = 1}^{n} ln(2 cos(\frac {t}{2^k})^2 - 1))`.

Btw, если там квадрат рядом с косинусом, то предел приведенному выражению не равен — для `t = \pi/2` `a_1 = 0` и `b_n \equiv 0`.

Без квадрата:
`(2 cos(t) - 1) * (2 cos(t) + 1) = 4 cos(t)^2 - 1 = (2 cos (2t) + 2) - 1 = 2 cos(2t) + 1`. Отсюда
`c_{n} = b_n * (2 cos(\frac {t}{2^{n}} ) + 1) = b_{n - 1} * (2 cos(\frac {t}{2^n}) - 1) * (2 cos(\frac{t} {2^n}) + 1) = b_{n - 1} * (2 cos(\frac {t} {2^{n - 1}}) + 1) = c_{n - 1}`, и последовательность `c_n` постоянна. Тогда `c_n = c_1 = (2 cos(t/2) - 1) (2 cos(t/2) + 1) = 2 cos(t) + 1`, и `b_n = \frac {2 cos(t) + 1} {2 cos(\frac {t} {2^n}) + 1};\ \ lim_{n -> oo} b_n = \frac {2 cos(t) + 1} {\lim_{n -> oo} (2 cos(\frac {t}{2^n}) + 1)} = \frac {2 cos(t) + 1} {3},\ q.e.d.`

[wpoms.]

Adjirranirr, если там квадрат рядом с косинусом...

Да, Вы правы. это очепятка

не использующую произведение `n` множителей
`b_n = exp (\sum_{k = 1}^{n} ln(2 cos(\frac {t}{2^k})^2 - 1))`. - Находчиво