Максимальный номер

[wpoms.]

Действительное число `x` удовлетворяет всем неравенствам `2^k < x^k + x^{k+1} < 2^{k+1}` для `k =1, 2,..., n`. Чему равно наибольшее возможное значение `n`?

@темы: Теория чисел

Comments

[Adjirranirr]

Пусть `f_k (x) = x^k + x^{k + 1} = x^k (1 + x)`. Заметим, что эта функция возрастает при `x > 0`, как сумма двух возрастающих функций.
Из неравенства при `k = 1` получим
`2 < x + x^2 < 4 <=> x \in (1;\ \frac {\sqrt(17) - 1} {2})`; так как `f_k(x)` возрастает, то для допустимых значений `x:\ f_k (x) < f_k (1/2 (\sqrt(17) - 1))`. Тогда
`f_4 (x) < f_4 (1/2 (\sqrt(17) - 1)) = 1/16 (\sqrt(17) - 1)^4 * (1/2 + 1/2 \sqrt(17)) = 1/32 (\sqrt(17) - 1)^4 * (\sqrt(17) + 1) < 1/32 * 3^4 * 5 = 405/32 < 512/32 = 2^4`, и, таким образом, если `x` удовлетворяет неравенству `2 < f_1 (x) < 4`, то этот `x` не удовлетворяет неравенству `2^4 < f_4 (x) < 2^5`, и `n <= 3`. Для `n = 3`, к примеру, `x = 3/2` удовлетворяет всем неравенствам `2^k < f_k (x) < 2^{k + 1},\ k \in {1,\ 2,\ 3}`.