Отображение

[wpoms.]

Обозначим через `mathbb{P}` множество положительных рациональных чисел. Отображение `f : mathbb{P} -> mathbb{P}` удовлетворяет условиям `f(x) + f(1/x) = 1` и `f (2x) = 2f (f (x))` для всех `x in mathbb{P}`. Найдите, с доказательством, явное выражение `f (x)` для всех `x in mathbb{P}`.

@темы: Функции

Comments

[Epygraph]

На множестве всех положительных рациональных чисел еще можно попробовать восстановить такую функцию, а на всем `RR_{+}` - сомнительно.

[Гость]

You're right

[waterlaz]

На множестве всех положительных рациональных чисел еще можно попробовать восстановить такую функцию, а на всем `RR_{+}` - сомнительно.

Я так понимаю, что требуется найти хотя бы одну такую функцию. Это вполне реально.

[wpoms.]

Epygraph, да, Вы правы. В перевод вкралась досадная ошибка. Исправился

[Epygraph]

Подходит функция `f(\frac{m}{n})=\frac{m}{m+n}`. Действительно,
`f(\frac{m}{n})+ f(\frac{n}{m})=\frac{m}{m+n}+\frac{n}{m+n}=1`.
`f(\frac{2m}{n})=\frac{2m}{2m+n}`. `2f(f(\frac{m}{n}))=2f(\frac{m}{m+n})= \frac{2m}{2m+n}`.

[All_ex]

Epygraph, хм... а как такое придумывают...

[Epygraph]

Epygraph, хм... а как такое придумывают...

Из условия потихоньку можно однозначно найти значение `f` при `x=1,1/2,2,2/3,3,1/3,4,1/4,5,1/5`, а затем можно уже гипотезы измышлять.

[All_ex]

Epygraph, а затем можно уже гипотезы измышлять. ... то етсть всё же угадать...
Кстати, ещё вопрос про множество рациональных и вещественных чисел (дискуссия в начале топика)... А разве функция `f(x) = x/{x + 1}` не подходит?...

[Epygraph]

Подходит! Эксперименты с указанными выше дробями вселили сомнение в возможности "восстановить" функцию. Позднее в одном из сообщений было указано, что достаточно "предъявить" подходящую функцию. Единственность решения без требования непрерывности или хотя бы измеримости по-прежнему сомнительна.

[Phaust94]

Единственность на множестве рациональных чисел хоть сложно, но показывается.
А на множестве вещественных чисел, кроме как по непрерывности, сложновато.