Геометрическое место точек

[wpoms.]

Даны прямая `L`, точка `A`, не лежащая на ней, и ненулевое действительное число `k`. Для произвольной точки `P`, лежащей на прямой `L`, рассмотрим точку `Q`, лежащую на прямой `AP`, для которой `|AP|*|AQ| = k^2`. Найдите геометрическое место точек `Q`.

@темы: Планиметрия

Comments

[Adjirranirr]

Рассмотрим прямоугольную систему координат такую, в которой прямая `L` совпадает с прямой `y = 0`, а точка `A` лежит на прямой `x = 0`.

Тогда точка `P` имеет координаты `(p,\ 0)`, точка `A` имеет координаты `(0,\ a)`. Прямая `AP` имеет уравнение `x * a = p * (a - y)`. Так как `A \notin L`, то `a != 0` и `x = p * (1 - y/a)`. Таким образом, точка `Q` имеет координаты `(p (1 - q/a),\ q)` для некоторого `q`. Тогда
`{:|| AP {:||^2 = p^2 + a^2,\ {:|| AQ {:||^2 = (p * (1 - y/a))^2 + (a - q)^2`, и
`k^4 = {:||AP{:||^2 * {:||AQ{:||^2 = (p^2 + a^2) * (p * (1 - q/a))^2 + (a - q)^2) = (p^2 + a^2) * \frac {(p^2 + a^2) * (a - q)^2} {a^2}`, откуда
`(a - q)^2 = (\frac {a * k^2} {a^2 + p^2})^2` и `q = a +- \frac {a * k^2} {a^2 + p^2} = a (1 +- \frac {k^2} {a^2 + p^2})`.
Следовательно, точка `Q` имеет координаты `(\mp p * \frac {k^2} {a^2 + p^2},\ a (1 +- \frac {k^2} {a^2 + p^2}))`, откуда
`Q_x^2 + (Q_y - \frac {a} {2} (2 +- \frac {k^2} {a^2}))^2 = \frac {p^2 * k^4} {(a^2 + p^2)^2} + a^2 (1 +- \frac {k^2} {a^2 + p^2} - 1 \mp \frac {k^2} {2 a^2})^2 =\frac {p^2 * k^4} {(a^2 + p^2)^2} + a^2 (+- \frac {k^2 (a^2 - p^2)} {2a^2 (a^2 + p^2)})^2 = `
`= \frac {k^4} {(a^2 + p^2)^2} (p^2 + \frac {(a^2 - p^2)^2} {4 a^2}) = \frac {k^4} {(a^2 + p^2)^2} (1/4 \frac {(a^2 + p^2)^2} {a^2}) = \frac {k^4} {4 a^2}`, то есть, `Q` лежит на окружности с центром в точке `(0,\ a +- \frac {k^2} {2 a})` и радиусом `\frac {k^2} {2 a}`.

Окончательно, безотносительно системы координат — пусть `O` — проекция точки `A` на `L`; пусть `{:||OA {:|| = a`. Тогда ГМТ точек `Q` есть пара окружностей с центрами `R_1` и `R_2`, лежащими на `OA` на расстоянии `\frac {k^2} {2 a}` от точки `A`, и радиусами `\frac {k^2} {2 a}`.