Неравенство

[wpoms.]

Докажите, что для действительных чисел `a`, `b` (`a*b > 0`) выполняется неравенство `root(3){(a^2b^2(a + b)^2)/4} <= (a^2 + 10ab + b^2)/12`. Определите, при каких условиях достигается равенство. Докажите, как следствие или иным образом, что для всех действительных чисел `a`, `b` верно неравенство `root(3){(a^2b^2(a + b)^2)/4} <= (a^2 + ab + b^2)/3` Определите, при каких условиях достигается равенство.

@темы: Доказательство неравенств

Comments

[VEk]

1. Удобно воспользоваться симметрическими многочленами. Пусть `s_1=(a+b)/2`, `s_2=ab`. Тогда исходное неравнство запишется `root(3)(s_1^2*s_2^2) <= (s_1^2 +2s_2)/3`.
После возведения в куб и разложения на множители получаем неравенство `(s_1^2-s_2)^2*( s_1^2+8s_2) >= 0`. Равенство при `a=b`.

2. Доказывается аналогично. После разложения на множители получаем `(s_1^2-s_2)*(8s_1^2+s_2)^2 >= 0`. Первая скобка неотрицательна, так как сравниваются квадраты ср. арифметического и ср. геометрического.

[All_ex]

VEk, как оказывается всё просто...

[Гость]

VEk, как оказывается всё просто...

всё гениальное - просто
а в данном случае, ещё и элегантно