Целое число

[wpoms.]

Найдите, с доказательством, все неотрицательные действительные числа `x`, для которых `root(3){13 + sqrt(x)} + root(3){13-sqrt(x)}` является целым числом.

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

Comments

[Leska|Nastya]

1. Обозначила целое число буквой a
2. Возвела уравнение в 3 степень:
`13+sqrt(x)+13-sqrt(x)+3(13+sqrt(x))^{2/3}(13-sqrt(x))^{1/3}+3(13-sqrt(x))^{2/3}(13+sqrt(x))^{1/3}=a^3`
Привела подобные
3. `26+3 (169 - x)^{1/3} * a = a^3`
во втором слагаемом получилось a из самого первого уравнения
4. Получили кубическое уравнение:
`a^3-(169-x)^{1/3}-26=0`
Т.к. a - целое, корни будем искать среди делителей 26 +-1; +-2;+-13;+-26
Подставляя a, найду x. Т.к. корней мб 8, значит подстановку придется делать 8 раз.

[Leska|Nastya]

После того, как нашли x, еще нужно проверить на отрицательность

[Leska|Nastya]

у меня получилось всего два x: 196 (а=2), 169+(25/3)^3 (а=1)

[Груша Вильямс]

Интересно, а есть ли формула `root(3)(a+-sqrt(b))=...` аналогично формуле сложного радикала `sqrt(a+-sqrt(b))=(sqrt(a+sqrt(a^2-b))+-sqrt(a-sqrt(a^2-b)))/sqrt(2)`?

[All_ex]

Leska|Nastya, Т.к. a - целое, корни будем искать среди делителей 26
Насколько я понимаю, это работает только при всех целых коэффициентах... а тут коэффициент при `a^1` может быть не целым...