Простая прогрессия

[wpoms.]

`p_1 < p_2 < ... < p_15` - арифметическая прогрессия с разностью `d`, состоящая из простых чисел. Докажите, что `d` делится на `2`, `3`, `5`, `7`, `11` и `13`.

@темы: Прогрессии, Теория чисел

Comments

[Trotill]

Имеем ряд простых чисел p,p+d,p+2d,...,p+14d.
Пусть d не делится на 13. Тогда в последовательности p,p+d,p+2d,...,p+12d найдётся число, которое делится на 13. Доказать это можно рассмотрев эти числа по mod13: они дают 13 различных остатков, один из которых обязательно нулевой. Противоречие.
Аналогично доказывается для других делителей.
Дополнительно - формально условие будет верным, если 13 (и аналогично и другие будут входить в прогрессию). Видно: 2,3,5,7,11,13 прогрессией не является.
Все возможности исчерпаны.