Пример с доказательством

[wpoms.]

Множество `S` состоит из чисел вида `a(n) = n^2 + n + 1`, где `n` натуральное число. Докажите, что произведение `a(n)*a(n + 1)` принадлежит `S` для всех натуральных чисел `n`. Приведите пример, с доказательством, пары чисел `s, t in S` таких, что `s*t notin S`.

@темы: Теория чисел, Множества

Comments

[kostyaknop]

Пример-то проще простого. A(1)=3, A(3)=13, но 3*13 не равно n^2+n+1 ни при каком n.

Доказательство примерно той же сложности. a(n-1)=n^2-n+1, a(n)=n^2+n+1. Поэтому a(n-1)a(n)=(n^2-n+1)(n^2+n+1)=(n^2+1)^2-n^2=n^4+n^2+1 = a(n^2)