Про квадрат и четырёхугольник

[wpoms.]

Четырехугольник `ABCD` вписан, как показано на рисунке, в квадрат, площадь которого равна 1. Докажите, что `2 <= |AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 <= 4`.

@темы: Планиметрия, Доказательство неравенств

Comments

[All_ex]

Обозначим вершины квадрата `KLMN`... и пусть точки четырёхугольника расположены так: `A in KL, \ B in LM, \ C in MN, \ D in NK`...
Пусть `|KA| = a, \ |LB| = b, \ |MC| = c, \ |ND| = d`... Тогда `|AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 = [a^2 + (1-a)^2] + [b^2 + (1-b)^2] + [c^2 + (1-c)^2] + [d^2 + (1-d)^2] `...
На отрезке `a in [0; 1]` выражение `a^2 + (1-a)^2` достигает минимума (равного `1/2`) при значении `a = 1/2`... а максимума (равного `1`) на концах отрезка...
Следовательно, `1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 <= [a^2 + (1-a)^2] + [b^2 + (1-b)^2] + [c^2 + (1-c)^2] + [d^2 + (1-d)^2] <= 1 + 1 + 1 + 1` что и требовалось доказать...

А интересно... более геометрическими соображениями это как-нибудь доказывается?...

[Дилетант]

А интересно... более геометрическими соображениями это как-нибудь доказывается?...

В одну сторону конечно: там, где `<=4`. По теореме Пифагора. А в другую я так же доказывала...

[All_ex]

Дилетант, В одну сторону конечно: там, где `<=4`. По теореме Пифагора. - хм... так равенство `|AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 = [a^2 + (1-a)^2] + [b^2 + (1-b)^2] + [c^2 + (1-c)^2] + [d^2 + (1-d)^2] ` получено по Пифагору... а дальше?... ...

[Дилетант]

All_ex, а, ну да, это по Пифагору:
`|AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 = [a^2 + (1-a)^2] + [b^2 + (1-b)^2] + [c^2 + (1-c)^2] + [d^2 + (1-d)^2] `
Я просто в эту сторону "буковками" не заменяла... Смысл-то один и тот же, но просто геометрически получилось "слегка наглядней":
`KA+AL=KL=1`,
`LB+BM=LM=1`,
`MC+CN=MN=1`,
`ND+DK=NK=1`

`[|KA|^2 + |AL|^2] + [|LB|^2 + |BM|^2] + [|MC|^2 + |CN|^2] + [|ND|^2 + |DK|^2]<=`
`<= |KL|^2+|LM|^2+|MN|^2+|NK|^2= 1^2+1^2+1^2+1^2=4`

[Дилетант]

Придумала, как в другую сторону.
Попытаюсь нарисовать.

[Дилетант]

М-да. "В другую сторону" получилось вычурно и бестолково. И нелепо, поскольку доказывать это надо через поиск минимума.
Да и ни к чему в такой легкой задаче эти огороды городить (
Одним словом, вот.
Искомая сумма по теореме Пифагора равна суммарной площади раскрашенных квадратов.

Можно уже сразу сказать, что минимум здесь достигается, когда пары квадратов на каждой стороне равны, а максимум, когда два квадрата вырождаются в один. Но это то же самое, что и первый комментарий

А если по-другому и свернуть эти квадраты внутрь (вот так выглядит это для одного треугольника):

Получится вот что:

Квадраты перекрывают друг друга. Минимальное перекрытие достигается при точках в центрах сторон квадрата (квадрат покрывается ровно два раза). И суммарная площадь равна 2. А если точки сдвинуты в вершины квадрата, то он покрывается четыре раза, и суммарная площадь равна 4.

[All_ex]

Дилетант, Одним словом, вот. - интересно...
Да и ни к чему в такой легкой задаче эти огороды городить ( - Просто смотрю я на геометрические задачи... сплошная аналитика... а душа требует красивой геометрии...
У нас один профессор в 90-х ездил на несколько лет в Бразилию работать... потом рассказывал, что его просили читать студентам (и, по-моему, преподавателям тоже) курс геометрических решений планиметрических задач, так как поскольку всю геометрию они решали при помощи метода координат...

[Дилетант]

All_ex, у Фейнмана про систему образования в Бразилии хорошо написано. Как раз очень похоже: они владеют абстрактными понятиями, и умеют ими абстрактно манипулировать, но эти понятия никак не соотносятся с миром вокруг них. Они не понимают, что стоит за символами и уравнениями. Даже не сферические кони в вакууме, а скорее синтаксис без семантики... Он был сильно озадачен.
(Это про физику, что, собственно, еще страннее - там ведь всё на эксперименте держится... )

[All_ex]

Дилетант, у Фейнмана про систему образования в Бразилии хорошо написано. - это я помню... в сообществе было, но я не помню где ... каньте ссылку, если не трудно...

[Дилетант]

All_ex, ссылку могу только на книгу кинуть...
Процитирую другой кусок, который здесь больше к месту:

Что касается образования в Бразилии, то у меня был очень интересный опыт. Я вел группу студентов, которые впоследствии должны были стать преподавателями, так как возможностей для научной работы в Бразилии в то время почти не было. Мои студенты прошли уже много предметов, а это должен был быть их самый серьезный курс по электричеству и магнетизму - уравнения Максвелла и т.д.
Университет располагался в нескольких зданиях, разбросанных по городу, и я вел свои занятия в здании, окна которого выходили на залив.
Я обнаружил очень странное явление: я задавал вопрос, и студенты отвечали, не задумываясь. Но когда я задавал вопрос еще раз - на ту же тему и, как мне казалось, тот же самый вопрос, они вообще не могли ответить! Например, однажды я рассказывал о поляризации света и раздал им всем кусочки поляроида.
Поляроид пропускает свет только с определенным направлением поляризации. Поэтому я объяснил, как определить направление поляризации света по тому, темный поляроид или светлый.
Сначала мы взяли две полоски поляроида и вращали их до тех пор, пока они не пропустили максимум света. Теперь мы могли сказать, что две полоски пропускают свет, поляризованный в одном направлении: что пропускает один поляроид, может пройти и через второй. Но потом я спросил, можно ли, имея всего один кусок поляроида, определить, в каком направлении он поляризует свет. Они совершенно не представляли себе.
Я знал, что это требует известной доли находчивости, поэтому я подсказал: "Посмотрите на залив. Как от него отражается свет?"
Все молчат. Тогда я сказал:
- Вы когда-нибудь слышали об угле Брюстера?
- Да, сэр. Угол Брюстера - это угол, отражаясь под которым от преломляющей среды, свет полностью поляризуется.
- В каком направлении свет поляризуется при отражении?
- Свет поляризуется перпендикулярно плоскости падения, сэр.
Даже теперь я не могу этого понять. Они знали все наизусть. Они знали даже, что тангенс угла Брюстера равен показателю преломления!
Я сказал: "Ну?"
По-прежнему, ничего. Они только что сказали мне, что свет, отражаясь от преломляющей среды, как, например, воды в заливе, поляризуется. Они даже сказали, в каком направлении он поляризуется.
Я сказал: "Посмотрите на залив через поляроид. Теперь поворачивайте поляроид".
- О-о-о, он поляризован! - воскликнули они.
После длительного расследования я, наконец, понял, что студенты все запоминали, но ничего не понимали. Когда они слышали "свет, отраженный от преломляющей среды", они не понимали, что под средой имеется в виду, например, вода. Они не понимали, что "направление распространения света" - это направление, в котором видишь что-то, когда смотришь на него, и т.д. Все только запоминалось, и ничего не переводилось в осмысленные понятия. Так что, если я спрашивал: "Что такое угол Брюстера?", я обращался к компьютеру с правильными ключевыми словами. Но если я говорил: "Посмотрите на воду", - ничего не срабатывало. У них ничего не было закодировано под этими словами.
Позже я посетил лекцию в Инженерном институте. Проходила она так:
"Два тела... считаются эквивалентными... если равные вращательные моменты... производят... равное ускорение. Два тела считаются эквивалентными, если равные вращательные моменты производят равное ускорение". Студенты сидели и записывали под диктовку, а когда профессор повторял предложение, они проверяли, все ли правильно записано. Потом они писали следующее предложение и еще одно, и еще одно. Только я один знал, что профессор говорил о телах с одинаковыми моментами инерции, а уяснить это было трудно.
Я не понимал, как они смогут разобраться во всем этом. Вот речь шла о моменте инерции, но не было никакого обсуждения хотя бы такого примера: ты хочешь открыть дверь и толкаешь ее с одной стороны, а с другой стороны ее подпирают грузом то с краю, то у самых петель. Насколько труднее будет открыть ее в первом случае, чем во втором?
После лекции я спросил одного студента:
- Вы ведете все эти записи. Что вы с ними делаете?
- О, мы их заучиваем. У нас будет экзамен.
- А какой будет экзамен?
- Очень простой. Я могу Вам прямо сейчас назвать один из вопросов, - он заглянул в тетрадь и сказал: "В каком случае два тела считаются эквивалентными?". А ответ: "Два тела считаются эквивалентными, если равные вращательные моменты производят равные ускорения".
Так что, как видите, они могли сдавать экзамены, и "учить" все это, и не знать абсолютно ничего, кроме того, что они вызубрили.
Потом я был в Инженерном институте на вступительном экзамене. Экзамен был устный, и мне разрешили послушать. Один абитуриент был просто великолепен. Он отлично отвечал на все вопросы. Его спросили, что такое диамагнетизм. Он ответил совершенно правильно. Потом его спросили: "Что происходит с лучом света, когда он проходит под определенным углом через слой материала определенной толщины и с определенным показателем преломления?"
- Он выходит, сместившись параллельно самому себе, сэр.
- А на сколько он сместится?
- Я не знаю, сэр, но я могу посчитать.
Он посчитал. Все было прекрасно. Но у меня к этому времени уже были подозрения.
После экзамена я подошел к блестящему молодому человеку и объяснил, что я из Соединенных Штатов и хочу задать несколько вопросов, которые никак не повлияют на результат экзамена. Для начала я спросил, может ли он привести какой-нибудь пример диамагнетика.
- Нет.
Тогда я сказал: "Представьте себе, что эта книга стеклянная, и я смотрю сквозь нее на что-нибудь на столе. Что случится с изображением, если наклонить стекло?"
- Изображение повернется, сэр, на угол, в 2 раза превышающий угол наклона.
- А вы не путаете с зеркалом?
- Нет, сэр.
Он только что сказал на экзамене, что луч света сместится параллельно самому себе, и, следовательно, изображение сдвинется в сторону, но не будет поворачиваться ни на какой угол. Он даже вычислил, насколько изображение сдвинется, но он не понимал, что кусок стекла - это и есть материал с показателем преломления и что его вычисления имели самое непосредственное отношение к моему вопросу.

[All_ex]

Дилетант, ссылку могу только на книгу кинуть... - был бы очень признателен...

[Дилетант]

All_ex, lib.ru/ANEKDOTY/FEINMAN/feinman.txt_with-big-pi...
А если для читалки, то нужно на флибусте посмотреть.

[All_ex]

Дилетант, Спасибо!... ... скачивал эту книгу по ссылке из топика про Феймана... но она не открывается...

[Дилетант]

All_ex,

скачивал эту книгу по ссылке из топика про Феймана... но она не открывается..

Только что скачала оттуда и открыла...
Не понимаю, что не так ((

[All_ex]

Дилетант, Скачал ещё раз... открылась... ... что изменилось - не знаю...
Но за текстовую ссылку всё равно - СПАСИБО!...

[Дилетант]

All_ex, на здоровье! ))