Сумма цифр

[wpoms.]

Пусть `S(n)` обозначает сумму цифр натурального числа `n` в десятичной системе счисления. Докажите, что для всех натуральных `n` выполняется неравенство `S(2*n) <= 2*S(n) <= 10*S(2*n)`. Докажите, что существует натуральное число `n`, для которого верно равенство `S(n) = 1996*S(3*n)`.

@темы: Теория чисел

Comments

[vyv2]

Докажите, что существует натуральное число `n`, для которого верно равенство `S(n) = 1996*S(3*n)`.

`n=366...669`, где шестерок m штук. `S(n)=12+6m`.
`3n=1100...007`, где нулей m штук. `S(3n)=9`. Отсюда `m=(1996*9-12)/6=2992`

[Mechanical_Sun]

"`S(2*n) <= 2*S(n)"
Можно найти минимальное значение относительно Левой части. А оно будет достигаться при n, состоящем из чисел не больше 4, т.к. не будет происходить переноса в разряды и приоритет операций "сложение чисел -> умножение" теряет смысл.
"2*S(n) <= 10*S(2*n"
1<= 5*S(2n)/S(n)

Рассмотрим S(2n)/S(n). Найдем минимальное значение. Несложно доказать, что оно будет происходить при числе, состоящем из одним пятерок.
Так, их отношение составит 1/5 (учитывая перенос разряда)

Таким образом минимальное значение правой части равно 1, чтд.