Магический квадрат

[wpoms.]

Магическим квадратом размера `3 times 3` с магическим числом `m` называется матрица размером `3 times 3`, сумма элементов которой в каждом ряду, в каждой строке и на каждой диагонали равна `m`. Покажите, если квадрат состоит из натуральных чисел, то `m` делится на `3`, и каждый элемент квадрата не превосходит `2n - 1`, где `m = 3n`. [Пример магического квадрата с `m = 6` - `((2, 1, 3), (3, 2, 1),(1, 3, 2))`.]

@темы: Теория чисел

Comments

[Adjirranirr]

Пусть `M = ((x_11,x_12,x_13),(x_21,x_22,x_23),(x_31,x_32,x_33))` — магический квадрат. Тогда
`(x_11 + x_12 + x_13)+ 2 *(x_21 + x_22 + x_23) + (x_31+x_32+x_33) +`
`+ (x_11 + x_21 + x_31) + 2 * (x_12 + x_22 + x_32) + (x_13 + x_23 + x_33) +`
`+ (x_11 + x_22 + x_33) + (x_13 + x_22 + x_31) = `
` = 10 m = 3x_11 + 3x_12 + 3x_13 + 3x_21 + 6x_22 + 3x_23 + 3x_31 + 3x_32 + 3x_33 = 3 * k`, откуда, в силу `gcd (10,\ 3) = 1` следует `m = 3n`. При этом `n = \frac {x_11 + x_12 + x_13 + x_21 + 2x_22 + x_23 + x_31 + x_32 + x_33} {10} = \frac {3m + x_22} {10}`, и `x_22 = n <= 2n - 1` при `n >= 1`. Тогда
`x_11 + x_33 = x_12 + x_32 = x_13 + x_31 = x_21 + x_23 = 2n`, откуда, учитывая, что все элементы матрицы — натуральные числа, `AAi, j:\ x_{ij} = 2n - x_{(4 - i)(4 - j)} <= 2n - 1`.