Натуральные числа. Прошу любить и жаловать

[wpoms.]

Последовательность `a_1, a_2, a_3, a_4,...` определяется соотношениями `a_1 = 1`, `a_2 = 1`, `a_3 = 1` и `a_{n+1}*a_{n-2} - a_{n}*a_{n-1} = 2`, для всех `n >= 3`. Докажите, что `a_n` является натуральным числом для всех `n >= 1`.

@темы: Теория чисел

Comments

[Груша Вильямс]

Такая штука в голову пришла, правда к доказательству не пришел, но некоторая симметрия вроде получилась. Или мне так кажется.
Пусть произведение крайних `x=a_{n+1}*a_{n-2}` и произведение средних `y = a_{n}*a_{n-1}` и тогда `x^2 - y^2 = 2x + 2y`, `x^2 - 2x = y^2 - 2y`, `f(x) = f(y)`.

[Груша Вильямс]

Проглядел `x^2 - 2x = y^2 + 2y`, `(x-1)^2 = (y+1)^2`, `|x - 1| = |y + 1|` и ничего полезного вроде, эх)

[All_ex]

Интересная последовательность... Вроде получается, что тройки чисел с номерами `(1-2-3), (3-4-5), (5-6-7), ...` лежат на прямых (то есть образовывают арифметические прогрессии)...
Но что это даёт тоже не понятно...

[Гость]

Последовательность `a_1, a_2, a_3, a_4,...` определяется соотношениями `a_1 = 1`, `a_2 = 1`, `a_3 = 1` и `a_{n+1}*a_{n-2} - a_{n}*a_{n-1} = 2`, для всех `n >= 3`. Докажите, что `a_n` является натуральным числом для всех `n >= 1`.

1, 1, 1, 3, 5, 17, 29, 99, ...

`a_{n} = f(n)a_{n-1} - a_{n-2}`

[All_ex]

Гость, 1, 1, 1, 3, 5, 17, 29, 99, ...`a_{n} = f(n)a_{n-1} - a_{n-2}`
`f(n) = {2;4;2;4;2;4;...}`
Интересная мысль... а как до неё догадаться?... ...
хотя это может некий стандартный приём рассуждений в таких задачах...

[Гость]

а как до неё догадаться?...

Можно попробовать обосновать продолжение

`f(n) = {2;4;2;4;2;4;...}`