Упорядоченные тройки

[wpoms.]

Сколько упорядоченных троек действительных чисел `(x, y, z)` удовлетворяют системе уравнений `x^2 + y^2 + z^2 = 9`, `x^4 + y^4 + z^4 = 33`, `xyz = -4` ?

@темы: Системы НЕлинейных уравнений

Comments

[Груша Вильямс]

Если `(x,y,z)` решение, то решением будет и `(y,x,z)`, `(-x,-y,z)`, `(-y,-x,z)`. Если решение первого уравнения `(x,-y,z)`, то и решение второго такое же, а третье надо проверить.
Пусть `x=y`, тогда
`{(2x^2+z^2=9), (2x^4+z^4=33), (x^2z=-4):} <=> {(z^2=9-2x^2),(2x^4+81-36x^2+4x^4-33=0),(x^2z=-4):} <=> {(z^2=9-2x^2),(x^4-6x^2+8=0),(x^2z=-4):}`
Решим второе:
пусть `x^2=t`, тогда `t^2-6t+8=0`, `(t-4)(t+2)=0` `t_(1,2)=x_(1,2)^2=[(2),(4):}`
Найдем `z`:
`z_1=+-sqrt(9-2x_1^2)=+-sqrt(9-4)=+-sqrt(5)`, тогда третье неверно `2*+-sqrt(5)!=-4`
`z_2=+-sqrt(9-2x_2^2)=+-sqrt(9-8)=+-1`, тогда третье верно `4*(-1)=-4` - решение `(2,2,-1)`, `(-2,-2,-1)` и все их перестановки.
Проверим будет ли выполняться условие - если решение первого уравнения `(x,-y,z)`, то и решение второго такое, а третье надо проверить:
`2*(-2)*1=-4` тогда решением будет и `(2,-2,1)`, `(-2,2,1)` и все их перестановки.
Если `x=1`, то `4` тройки, если `x=-1`, то тоже `4`. Если `x=2`, то `8` троек, если `x=-2`, то тоже `8`. Итого: `24`.

[Epygraph]

Решениями являются только `(-1, -2, -2)`, `(-1, 2, 2)`, `(1, 2, -2)` и все их перестановки. С учетом совпадающих компонентов в первых двух тройках, всего решений `3+3+6=12`.

[Груша Вильямс]

Да, что-то лишнего я насчитал. Почему-то и эти посчитал `(2,2,1)`, `(-2,-2,1)`, `(-2,2,-1)` с перестановками...

[All_ex]

Хм.. а почему-то подумал, что упорядоченность здесь понимается в смысле `x <= y <= z`...