Треугольники

[wpoms.]

Треугольники `ABG` и `AEF` лежат в одной плоскости. Имеют место условия: (a) `E` является серединой `AB`; (b) точки `A`, `G` и `F` лежат на одной прямой; (c) `BG` и `EF` пересекаются в точке `C`; (d) `|CE| = 1` и `|AC| = |AE| = |FG|`. Пусть `|AG| = x`. Покажите, что `|AB| = x^3`.

@темы: Планиметрия

Comments

[Adjirranirr]

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат с центром в точке `A`. Пусть точки `B` и `E` имеют координаты `(R,\ 0)` и `(R/2,\ 0)` соответственно.
Точка `C` лежит на расстоянии `R/2` от начала координат и на расстоянии `1` от точки `E`; таким образом, она лежит одновременно на окружностях `x^2 + y^2 = R^2/4` и `(x - R/2)^2 + y^2 = 1`. Решая систему уравнений, получим `C_x = \frac {R^2 - 2}{2R},\ C_y = +- \frac {\sqrt(R^2 - 1)} {R}`. Выберем ту точку, которая лежит в первой четверти; тогда `C = (\frac {R^2 - 2}{2R},\ \frac {\sqrt(R^2 - 1)} {R})`.



Уравнение прямой `BC` имеет вид `(x - R)*(C_y) = y * (C_x - R)`, откуда `y = \frac {2 (R - x) * \sqrt(R^2 - 1)} {R^2 + 2}`.
Уравнение прямой `EC` имеет вид `(x - R/2)*(C_y) = y * (C_x - R/2)`, откуда `y = 1/2 (R - 2x) * \sqrt(R^2 - 1)`

Пусть прямая, проходящая через точки `A`, `G`, `F` имеет уравнение `y = p*x`. Тогда точка `G` лежит на прямой `BC` и ее координата `x` удовлетворяет уравнению `px = \frac {2 (R - x) * \sqrt(R^2 - 1)} {R^2 + 2}`, откуда `x = \frac {2 R \sqrt(R^2 - 1)} {p (R^2 + 2) + 2\sqrt(R^2 - 1)}`. Аналогично, координата `x` точки `F` удовлетворяет уравнению `px = 1/2 (R - 2x) * \sqrt(R^2 - 1)`, откуда `x = 1/2 \frac {R \sqrt(R^2 - 1)} {\sqrt(R^2 - 1) + p}`.

Тогда `G = (\frac {2 R \sqrt(R^2 - 1)} {p (R^2 + 2) + 2\sqrt(R^2 - 1)},\ p * \frac {2 R \sqrt(R^2 - 1)} {p (R^2 + 2) + 2\sqrt(R^2 - 1)}),\ F = (1/2 \frac {R \sqrt(R^2 - 1)} {\sqrt(R^2 - 1) + p},\ p/2 \frac {R \sqrt(R^2 - 1)} {\sqrt(R^2 - 1) + p})`.

По условию, `{:||AG{:|| = t,\ {:||GF{:|| = R/2`. Тогда `{:||AF{:|| = t + R/2`, и `F_x^2 * (1 + p^2) = (t + R/2)^2,\ G_x^2 * (1 + p^2) = t^2,\ (G_x - F_x)^2 * (1 + p^2) = \frac {R^2}{4}`.
Следовательно, `\frac {F_x^2} {G_x^2} = (1 + \frac {R}{2t})^2` и `\frac {(G_x - F_x)^2}{G_x^2} = (\frac {R}{2t})^2`, и `\frac {F_x^2} {G_x^2} - \frac {(G_x - F_x)^2}{G_x^2} = \frac {R + t}{t}`.
`\frac {F_x^2} {G_x^2} = 1/16 (\frac {R \sqrt(R^2 - 1)} {\sqrt(R^2 - 1) + p} * \frac {p (R^2 + 2) + 2\sqrt(R^2 - 1)}{R \sqrt(R^2 - 1)})^2 = 1/16 (\frac {2p + 2\sqrt(R^2 - 1) + R^2 p} {p+sqrt(R^2 - 1)})^2`,
`\frac {(G_x - F_x)^2}{G_x^2} = ... = 1/16 ( \frac {2p + 2\sqrt(R^2 - 1) - R^2 p} {p+sqrt(R^2 - 1)})^2`
`\frac {F_x^2} {G_x^2} - \frac {(G_x - F_x)^2}{G_x^2} = \frac {1}{16 (p + \sqrt(R^2 - 1))^2 } * (2 p R^2) * (4 \sqrt(R^2 - 1) + 4 p) = 1/2 \frac {p R^2} {p + \sqrt(R^2 - 1)}`.

`1/2 \frac {p R^2} {p + \sqrt(R^2 - 1)} = \frac {R + t}{t}`, откуда `p = \frac {2 \sqrt(R^2 - 1) * (R + t)} {R^2 t - 2 (R + t)}`. Подставляя выражение в уравнение `G_x^2 (1 + p^2) = t^2`, получим
`\frac {4 R^2 (R^2 - 1) (\frac {4 (R^2 - 1) (R + t)^2}{(R^2 t - 2(R + t))^2} + 1) } {(\frac {2 \sqrt(R^2 - 1) (R + t) (R^2 + 2)}{R^2 - 2(R + t)} +2\sqrt(R^2 - 1))^2} = t^2 <=> \frac {R *(Rt^2 + 4(R + t))} {(R + 2t)^2} = t^2`, откуда `4R^2 + (4t - 4t^3)*R - 4t^4 = 0 <=> (R+ t)*(R-t^3) = 0` и `[(R,=,-t),(R,=,t^3):}`. При `R = -t` получим `p = 0`, что невозможно, так как точки `G` и `F` не лежат на прямой `AB`. Тогда `R = t^3`, что и требовалось доказать.

[Гость]

Пожалуйста, удалите моё предыдущее сообщение, там имеется описка. Должно быть так:

[Дилетант]

Пожалуйста, удалите моё предыдущее сообщение, там имеется описка.

Гость, ок