Olympiada Matemática Española/Испанская математическая олимпиада platea.pntic.mec.es/~csanchez/olimmain.htm Соревнование проводится в два этапа. Первый проводится в конце первой учебной четверти, трое лучших из каждого округа допускаются к участию в финале. Национальный финал проводится обычно в феврале, шестеро лучших могут принять участие в IMO, четверка лучших - в Ибероамериканской олимпиаде. Listen or download Asturias - Isaac Albeniz for free on Prostopleer Listen or download La Leyenda Del Beso for free on Prostopleer В комментариях условия олимпиады 2011/12. |  |
пятница, 15 июня 2012
Комментарии
-
-
15.06.2012 в 20:13Viernes mañana, 16 de diciembre de 2011
Primera Fase
Primera sesión
1. Для данного натурального числа n найти сумму всех положительных целых чисел меньших 10n, не являющихся кратыми 2 или 5.
2. Дан остроугольный треугольник ABC, /_A = 45°. P - основание высоты проведенной из вершины B. Окружность с центром в точке P, проходящая через точку C, пересекает AC в точке X и высоту PB в точке Y. Прямые, перпендикулярные AY, проходящие через X и Y, пересекают AB в точках L и K соответственно. Докажите, что L является серединой KB.
3. Дан правильный 2n+1 угольник с вершинами `A_1`, `A_2`,... , `A_{2n+1}`. Определить количество троек `A_i`, `A_j`, `A_k`являющихся вершинами тупоугольного треугольника `A_iA_jA_k`.
4. a, b и c - положительные действительные числа, произведение которых равно 1. Докажите, что если сумма этих чисел больше суммы обратных им величин, то ровно одно из этих чисел больше 1.
5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 1 и углы равны 30°,60° и 90°. Внутри треугольника выбраны 25 произвольных точек. Докажите, что всегда найдутся 9 из этих 25 точек таких, что их можно накрыть полукругом радиуса 3/10.
6. Пусть P - точка внутри треугольника ABC и точки `H_A`, `H_B`, `H_C`- ортоцентры треугольников PBC, PAC и PAB, соответственно. Докажите, что треугольники `H_AH_BH_C` и ABC имеют равные площади.
-
-
15.06.2012 в 20:16Sábado mañana, 17 de diciembre de 2011
Primera Fase
Segunda sesión
1. Пусть ABCD - выпуклый четырехугольник и точка P находится внутри его. Определить условия на четырехугольник и точку P, при выполнении которых площади треугольников PAB, PBC, PCD и PDA равны.
2. Пусть a, b и c длины сторон треугольника ABC и `b(a + b)(b + c) = a^3 + b(a^2 + c^2) + c^3`,
Докажите, что величины углов (в радианах) удовлетворяют соотношению
`1/(sqrt(A)+sqrt(B)) + 1/(sqrt(B)+sqrt(C)) = 2/(sqrt(A)+sqrt(C))`
3. Некоторое количество шаров сложили в виде тетраэдра, ребра которого составлены из n шаров. Выразите (как функцию от n) общее количество точек касания шаров.
4. Найдите все вещественные функции `f : RR^+ -> RR^+` для которых, при всех положительных действительных x, выполняется соотношение
`x+1/x = f(x) + 1/f(x)`
5. Рассмотрим положительное целое число `n = 2^r - 16^s`, где r и s - натуральные числа. При каких значениях r и s остаток от деления n на 7 равен 5. Найдите наименьшее число, удовлетворяющее этим условиям.
6. Дан правильный 2n угольник с вершинами `A_1`, `A_2`, ..., `A_{2n}`. Найдите количество троек `A_i`, `A_j`, `A_k` таких, что треугольник `A_iA_jA_k` прямоугольный, и количество троек состоящих из вершин остроугольного треугольника.
-
-
15.06.2012 в 20:17Fase nacional 2012 (Santander) Primera sesión (24 de marzo)
• Problema 1
Докажите, что число `lambda_n = sqrt(3n^2 + 2n + 2)` является иррациональным при всех неотрицательных целых значениях n.
• Problema 2
Найдите все действительные функции действительного аргумента `f : RR -> RR`, для которых
`(x - 2)f (y) + f (y + 2f (x)) = f (x + yf (x))`
выполняется для всех `x, y in R`.
• Problema 3
Пусть x и n целые числа, удовлетворяющие `1 <= x < n`. У нас есть x +1 различных коробок и n - x идентичных шаров. Обозначим за f (n, x) количество способов распределить n - x шаров по x + 1 коробке. Пусть p - простое число. Найти n большее 1 для которого p является делителем f(n, x) для всех `x in {1, 2, ... , n - 1}`.
-
-
15.06.2012 в 20:18Fase nacional 2012 (Santander) Segunda sesión (25 de marzo)
• Problema 4
Найти все натуральные решения уравнения
`(n + 1)^n = 2n^k + 3n +1`.
• Problema 5
Последовательность `(a_n)_{n>= 1}` задана рекуррентным соотношением
`a_1 = 1`, `a_2 = 5`, `a_n = (a_{n-1}^2+4)/(a_{n-2})`, para `n >= 3`
Докажите, что последовательность состоит из целых чисел и найдите формулу n-го члена последовательности.
• Problema 6
Дан остроугольный треугольник ABC, `omega` - вписанная в него окружность с центром I, `Omega` - описанная около него окружность с центром O, M - середина высоты AH, H принадлежит BC. Окружность `omega` касается BC в точке D. Луч MD пересекает `omega` в точке P. Перпендикуляр к MD, проходящий через I, пересекает прямую BC в N. Прямые NR и NS касаются `Omega` в R и S соответственно. Докажите, что точки R, P, D и S лежат на одной окружности.
-
-
15.06.2012 в 22:10-
-
16.06.2012 в 02:53-
-
19.06.2012 в 01:30-
-
15.07.2013 в 00:04Primera sesión
1. Дано уравнение x^2 + ax +1 = 0, определить
а) диапазон значений действительного числа a, для которого корни этого уравнения являются мнимыми числами.
б) геометрическое место точек, представляющих эти корни в обычном графическом представлении комплексных чисел, при условии, что a принадлежит указанному выше диапазону.
2. Налог на индивидуального предпринимателя задается функцией f (x), где x - сумма общего дохода за год в песетах. Известно, что
a) f (x) является непрерывной функцией.
b) Производная df (x) / dx в интервале 0 <= x < 60 000 принимает значение 0; в интервале 60000 < x < P принимает значение 1; и при x > P принимает значение 0.14.
c) f (0) = 0 и f (140000) = 14000.
Определите значение P в песетах и постройте график функции y = f (x).
3. Дан выпуклый n-угольник. Проведем прямые, содержащие диагонали n-угольника. Никакие три из них не пересекаются в отличных от вершин n-угольника точках и n-угольник не имеет параллельных диагоналей. Найдите:
a) Общее количество точек пересечения прямых, за исключением вершин n-угольника.
b) Количество этих точек пересечения, расположенных внутри n-угольника, и количество этих точек, расположенных вне n-угольника.
обсуждение
4. Дан равносторонний треугольник ABC, длина его стороны равна a. Вокруг треугольника описана окружность. Рассмотрим круговой сегмент, ограниченный хордой AB и дугой окружности (`120^o`) с теми же концами. Круговой сегмент пересекают прямыми, параллельными стороне BC, в результате чего получаются отрезки, концами которых являются точки пересечения прямых с границей сегмента. Определите максимальную длину подобного отрезка.
обсуждение
Segunda sesión
5. Дан правильный пятиугольник, в котором проведены пять диагоналей. Определите общее количество треугольников в этой фигуре и разбейте это множество треугольников на классы равных друг другу треугольников.
обсуждение
6. Постройте график функции y = |||x- 1|- 2| - 3| на промежутке -8 < =x < =8.
обсуждение
7. Имеется файл с 1000 карточек, пронумерованных числами от 1 до 1000, расположенных в порядке возрастания номеров. К карточкам применяют такую операцию: первую карточку ставят между последней и предпоследней, далее первую карточку (ее номер 2) ставят на последнее место, тем самым первой становится карточка с номером 3. Покажите, что после выполнения 1000 подобных операций все карточки снова будут расположены в порядке возрастания номеров. Проверьте возможность достижения подобного результата (n операций для n карточек), если в файле находится нечетное количество карточек.
обсуждение
8. На вертикально расположенном рисунке точки A и B находятся на горизонтальной прямой, полуокружность с концами в точках A, B расположена ниже этой прямой. Отрезок, длина которого равна длине диаметра полуокружности, перемещается, при этом он всегда содержит точку A и один из его концов принадлежит полуокружности. Какую величину должен иметь косинус угла между отрезком и прямой для того, чтобы середина отрезка находилась так низко, как это только возможно.
обсуждение
mpl
-
-
06.08.2013 в 20:36Primera sesión
1. Равносторонний треугольник, вписанный в круг с центром О и радиусом, равным 4 см, поворачивается вокруг точки О на прямой угол. Найти площадь, общую для данного треугольника и треугольника, полученного поворотом.
обсуждение
2. Сколько существует трехзначных чисел (то есть, чисел, больших 99 и меньших 1000), у которых средняя цифра больше двух других? У скольких из этих чисел все три цифры разные?
обсуждение
3. Грампластинка вращается со скоростью 33 1/3 оборота в минуту, запись длится 24 минуты 30 секунд. Часть пластинки с записью имеет 29 см по внешнему диаметру и 11.5 см по внутреннему диаметру. С помощью этих данных найдите длину звуковой дорожки.
обсуждение
4. Найти все интервалы значений х, для которых cos x + sin x > 1. Та же задача для cos x + |sin x| > 1.
Segunda sesión
5. Хорошо известно, что если `p/q = r/s`, то обе эти дроби равны `(p - r)/(q - s)`.
Запишем равенство:
`(3x - b)/(3x - 5b) = (3a - 4b)/(3a - 8b)`
По указанному выше свойству эти дроби должны быть равны:
`(3x - 5b - 3a + 8b)/(3x - b - 3a + 4b) = (3x - 3a + 3b)/(3x - 3a + 3b) = 1`,
Но обе исходные дроби отличны от единицы.
Объясните, почему получился такой результат.
обсуждение
6. Сделанный из проволоки равносторонний треугольник со стороной `l` покоится на твердой сфере радиуса `r`, так что она проходит сквозь него и выходит сверху. На каком расстоянии от центра сферы находятся вершины треугольника?
обсуждение
7. Радиус большего основания усеченного конуса вращения равен r, тангенс угла между его образующими и плоскостью основания равен `m`.
Этот усеченный конус сделан из материала плотности `d`, а его меньшее основание покрыто листом, плотность которого `p` г/см^2.
Для какой высоты конуса его общая масса максимальна? Приведите полное решение задачи.
обсуждение
8. Пусть` gamma_1` — окружность радиуса `r` и `P` — точка вне окружности, находящаяся на расстоянии `a` от ее центра. Из точки `P` проведены две касательные к окружности `gamma_1`. `gamma_2` — окружность радиуса меньшего, чем `gamma_1`, касающаяся обеих прямых и `gamma_1`. Далее, как только построена окружность `gamma_n`, строится следующая окружность gamma_{n+1}, радиуса, меньшего, чем gamma_n, касающаяся двух указанных прямых и окружности gamma_n. Определите:
a) Радиус `gamma_2` .
b) Формулу для радиуса произвольной окружности `gamma_n`.
c) Предел суммы длин окружностей `gamma_1, gamma_2, ... , gamma_n, ...`
обсуждение
Дилетант
-
-
02.09.2013 в 18:44Primera sesión
1. Производитель выпускает три вида товара по 50, 70 и 65 сольдо за единицу. Оптовый покупатель оплачивает чек на сумму 6850 сольдо и просит продать 100 единиц товара с условием, что самого дорогого товара должно быть как можно больше, оставшаяся часть — товары двух других видов. Сколько товаров каждого вида должен послать производитель, чтобы выполнить заказ?
обсуждение
2. Трехзначное число записывается как `xyz` в семиричной системе счисления и как `zyx` в девятиричной. Что это за число?
обсуждение
3. Рассмотрим правильный пятиугольник и выпуклый пятиугольник, ограниченный его диагоналями.
Вычислите:
a) коэффициент подобия между этими выпуклыми пятиугольниками.
b) отношение их площадей.
c) коэффициент гомотетии, преобразующей первый пятиугольник во второй.
обсуждение
4. Груз веса Р должен быть подвешен под потолком на расстоянии 7 метров. Для этой цели к середине цепи (точка М), закрепленной на потолке в точках А и В, расположенных на расстоянии 4 м друг от друга, прикрепили вертикально свисающий трос. Цена троса PM равна p сольдо за метр, цена цепи АМВ — q сольдо за метр.
а) Определите длину троса и цепи, при которых стоимость конструкции будет наименьшей.
b) Обсудите решение при различных значениях отношения цен p/q. (Предполагается, что вес Р достаточно велик, чтобы сегменты цепи AM и MB рассматривались как отрезки прямых).
обсуждение
Segunda sesión
5. Длина гипотенузы `BC` прямоугольного треугольника `ABC` равна `a`. На ней взяты точки `M` и `N`, так, что `BM = NC = k`, где `k < a/2`. Предполагая, что известны только `a` и `k`, вычислите:
a) Значение суммы квадратов длин `AM` и `AN`.
b) Отношение площадей треугольников `ABC` и `AMN`.
c) Площадь, ограниченную окружностью, проходящей через точки `A, M', N'`, где `M'` - ортогональная проекция точки `M` на `AC` и `N'` - ортогональная проекция точки `N` на `AB`.
обсуждение
6. В семье пять детей. Найдите вероятность того, что среди них по крайней мере два мальчика и одна девочка. Вероятности рождения детей обоего пола равны `1/2`.
обсуждение
7. Определите семь членов геометрической прогрессии, зная, что сумма первых трех из них равна `7`, а последних трех `112`.
обсуждение
8. Определите значения `a, b, c`, такие, что график функции
`y = a*x^3 + b*x^2 + c*x`
имеет точку перегиба с абсциссой `x = 3`, и уравнением касательной в этой точке
`x - 4*y + 1 = 0`.
Начертите график найденной функции.
обсуждение
Дилетант
-
-
06.10.2013 в 13:22Primera sesión
1. Известно, что действительная функция `f (t)` монотонно возрастает на отрезке `-8 <= t <= 8`, но ее поведение вне этого отрезка неизвестно. Какому интервалу должна принадлежать переменная `x`, чтобы можно было гарантированно сказать, что функция `y = f (2x-x^2)` монотонно возрастает?
обсуждение
2. Определите полюс преобразования инверсии, переводящего четыре точки `A`, `B`, `C`, `D`, располагающиеся на одной прямой, в точки `A'`, `B'`, `C'`, `D'`, являющиеся вершинами параллелограмма, так что вершины `A'` и `C'` противоположны.
обсуждение
3. Светофор, установленный на главном перекрестке дороги с двухсторонним движением, поочередно загорается на 30 секунд красным и на 30 секунд зеленым. Нужно установить второй светофор на этой же дороге, находящийся на расстоянии 400 м от первого, который бы переключался с периодом в 1 минуту. При этом должно выполняться то условие, что если машины, едущие по этой дороге со скоростью 60 км/ч, не останавливаются у светофора на основном перекрестке, они не должны остановиться после остановки второго установленного светофора. Сколько секунд должен гореть красный свет на втором светофоре? Примечание: Рассмотрите декартову систему координат, одной осью которой является расстояние, а другой - время.
обсуждение
4. Закрытая бутылка с плоским дном содержит вино, уровень которого ниже, чем окончание ее цилиндрической части. В каких случаях можно найти объем бутылки, не открывая ее, используя только нанесенную на нее двойную шкалу. Если такие случаи существуют, опишите нахождение объема бутылки.
обсуждение
Segunda sesión
5. Пусть `gamma` — полуокружность диаметра AB. Ломаная с началом в точке А имеет вершины, принадлежащие попеременно диаметру AB и полуокружности `gamma`, причем, ее отрезки образуют с AB угол `alpha` (в обоих направлениях).
Найдите:
a) Такой угол `alpha`, что ломаная пройдет через второй конец диаметра B.
b) Общую длину ломаной, в случае, если она имеет конец в точке B, как функцию от длины диаметра `d` и угла `alpha`.
обсуждение
6. Дан равносторонний треугольник ABC с центром O и радиусом OA = R. Рассмотрим семь областей, на которые разделена плоскость прямыми, содержащими стороны этого треугольника.
Начертите и опишите область плоскости, полученную при преобразовании двух затененных областей на рисунке инверсией с центром в точке O и радиусом R^2.
обсуждение
7. По дороге движется колонна машин. Все машины едут с одинаковой скоростью, соблюдая между каждой парой минимальное расстояние, предусмотренное правилами дорожного движения. Это расстояние в метрах равно `v^2/100`, где `v` - скорость, выраженная в км/ч. Предположив, что длина каждого автомобиля `2,89 m`, вычислите скорость, с которой они должны двигаться, чтобы пропускная способность дороги была максимальной, то есть в течение фиксированного времени через некоторую точку дороги прошло максимальное количество транспортных средств.
обсуждение
8. Чтобы вычислить значение полинома степени n с коэффициентами
a_0 ,a_1, ..., a_n
(начиная с члена с наибольшей степенью), когда переменная x принимает фиксированное значение b, можно применить алгоритм, представленный блок-схемой, в которой описаны действия, которые нужно совершить, чтобы применить правило Руффини.
Постройте аналогичную блок-схему, которая позволит находить производную этого полинома в точке x=b.
1. A:=a_0
2. i:=1
3. P:=Ab
4. A:=P+a_i
5. i=n? Нет -> i:=i+1; Goto 3
6. Значение многочлена равно A.
обсуждение
Дилетант
-
-
08.10.2013 в 18:17Поспешишь - людей насмешишь (
wpoms., прошу прощения.
-
-
08.10.2013 в 18:22-
-
08.10.2013 в 18:29Так что даже не могу посмотреть оригинал. Но это не мешает мне сгорать от стыда ))
-
-
28.11.2013 в 20:58Primera sesión
1. Ночью температура была постоянной - на несколько градусов ниже нуля. Вода в очень большом цилиндрическом баке, глубина которой 10 см, охладилась до температуры 0 градусов, и на ее поверхности начал образовываться слой льда. Было замечено, что в этих условиях толщина образовавшегося льда прямо пропорциональна квадратному корню из прошедшего времени. В 0 часов толщина льда составила 3 см, а четыре часа спустя вся вода в баке замерзла. Вычислите время начала образования льда, зная, что плотность льда равна 0.9.
обсуждение
2. Аргументируйте или опровергните утверждение о непрерывности в точке `x = 0` действительнозначной функции `f (x)` действительного переменного `x` в каждом из трех независимых случаев.
a) Известно только, что для всех натуральных `n`
`f (1/(2n)) = 1` и `f (1/(2n+1)) = -1`.
b) Известно, что для всех действительных неотрицательных `x`
`f (x)= x^2`,
а для отрицательных действительных `x`
`f(x)=0`.
c) Известно только, что для всех натуральных `n`
`f(1/n) = 1`.
обсуждение
3. Дан квадрат с длиной стороны `a`. Рассмотрим геометрическое место точек, лежащих на окружностях радиуса `a`, содержащих внутри себя данный квадрат. Требуется доказать, что контур фигуры, образованной точками с этим свойством, состоит из дуг окружностей. Определите их центры, радиусы и длины.
обсуждение
4. На обоих концах диаметра `A` и `B` (длины `2r`) горизонтального кругового тротуара высятся две колонны одинаковой высоты `h`, которые поддерживают балку `A'B'` длины, равной указанному диаметру. Образуем покрытие, размещением многочисленных отрезков тугой проволоки (которые будем считать прямыми), соединяющих точки балки `A'B'` с точками круговой кромки тротуара, так что эти отрезки перпендикулярны `A'B'`. Найдите объем, заключающийся между покрытием и тротуаром.
обсуждение
Segunda sesión
5. Найдите геометрическое место центров прямоугольников, четыре вершины которых описывают контур данного треугольника.
обсуждение
6. Дан произвольный тетраэдр. Пересекаются ли в одной точке:
a) перпендикуляры к центрам окружностей, описанных около граней.
b) перпендикуляры к ортоцентрам граней.
с) перпендикуляры к центрам окружностей, вписанных в грани.
Если да, охарактеризуйте некоторое просто геометрическое свойство точки пересечения. Если нет, приведите пример тетраэдра, для которого пересечения не существует.
обсуждение
7. Последовательность степеней двойки (записанная в десятичной системе, начиная с `2^1 = 2`) содержит три члена, состоящих из одной цифры, три члена из двух цифр, три из трех, четыре из четырех, три из пяти и так далее. Обоснуйте ответы на следующие вопросы:
a) Может ли быть только два члена с определенным количеством цифр?
b) Могут ли пять последовательных членов иметь одинаковое количество цифр?
c) Могут ли за четырьмя членами, состоящими из `n` цифр следовать четыре члена, содержащие `n+1` цифру?
d) Какова максимальная длина последовательности степеней двойки, которая не содержит четырех степеней с одинаковым количеством цифр?
обсуждение
8. Предположим, что стороны квадрата обладают отражающими свойствами и соответствуют сторонам света (`N, S, W, E`). Взята точка на стороне `N`. Определите, в каком направлении нужно направить луч света (внутри квадрата), чтобы он вернулся в эту же точку, отразившись `n` раз от стороны `E`, `n` раз от стороны `W`, `m` раз от стороны `S`, и `m-1` раз от стороны `N`, где `n` и `m` — заданные натуральные числа. Что произойдет, если `n` и `m` не взаимно просты? Вычислите длину луча света как функцию от `m`, `n` и длины стороны квадрата.
обсуждение
Дилетант, mpl
-
-
14.01.2014 в 22:43Primera sesión
1. Найдите геометрическое место центров инверсий, которые преобразуют две точки A, B данной окружности `gamma` в диаметрально противоположные точки образа `gamma` при этих инверсиях.
обсуждение
2. Найдите геометрическое место точек `M`, таких что соответствующие им комплексные числа `z` лежат на одной прямой с `i` и `i*z`.
обсуждение
3. В мешке лежат пластиковые кубики одного размера, их грани окрашены, без повторений, в шесть цветов: белый, красный, желтый, зеленый, синий и фиолетовый. Какое наибольшее число различных кубиков может быть в мешке?
обсуждение
4. Окружность радиуса `R` разделена на 8 равных частей. Точки деления последовательно обозначены буквами `A, B, C, D, E, F, G` и `H`. Найдите площадь квадрата, образованного отрезками `AF`, `BE`, `CH` и `DG`.
обсуждение
Segunda sesión
5. Докажите, что выпуклый многоугольник с числом сторон более четырех не может быть разделен одним разрезом на две подобные ему части. Укажите, для каких треугольников и четырехугольников это можно сделать.
обсуждение
6. Дан многочлен с действительными коэффициентами `P(x)`, можно ли сказать, что для каждого действительного значения `x` верны некоторые из следующих неравенств:
Найти простую общую процедуру (среди многих существующих), позволяющую всякий раз, когда нам дают два многочлена `P(x)` и `Q(x)`, найти многочлен `M(x)`, что для всех `x` выполняются оба условия:
обсуждение
7. Выпуклый n-сторонний многоугольник `A_1 A_2 ... A_n` вписан в окружность и его стороны удовлетворяют условию `A_nA_1 > A_1A_2 > A_2A_3 > ... > A_{n-1}A_n`.
Докажите, что внутренние углы многоугольника удовлетворяют условиям`A_1 < A_2 < A_3 < ... < A_{n-1}, \ \ A_{n-1} > A_n > A_1`.
обсуждение
8. SEAT рекомендует автолюбителям для обеспечения лучшей сохранности колес периодически менять их по схеме `R -> 3 -> 2 -> 1 -> 4 -> R`, в соответствии с нумерацией на рисунке. Назовем такую замену колес `G`, тогда `G^2 = G*G` - это две последовательных замены колес и так далее для других степеней `G`.
а) Покажите, что множество этих степеней образует группу, и изучите её.
б) Прокол одного из колес эквивалентен замене проколотого колеса на запасное (`R`) и, как только ремонт завершится, установки отремонтированного колеса на место резервного. Получите `G` как произведение преобразований прокола. Образуют ли они группу?
обсуждение
mpl
-
-
07.03.2014 в 00:48Primera sesión
1. Сосуд в форме прямого кругового цилиндра частично заполнен жидкостью, плотность которой неизвестна. Расположив его под углом `30^o` к вертикали, можно наблюдать, что если понизить уровень жидкости на 1 см, вес содержимого уменьшится на 40 грамм. Насколько уменьшится вес при понижении уровня на сантиметр, если ось цилиндра будет образовывать угол `45^o` с вертикалью? Предполагается, что горизонтальная поверхность жидкости не касается ни одного из оснований сосуда.
обсуждение
2. Растение развивается следующим образом. Оно имеет стебель, который делится на две ветки, каждая ветка, в свою очередь, может разделиться на две или закончиться почкой. Назовем "нагрузкой" ветки количество почек, которые она поддерживает, то есть количество почек, которые питаются соком, проходящим через эту ветку. И назовем "удаленностью" почки количество веток, по которым должен пройти сок до нее от ствола.
Если n - количество раздвоений веток у данного растения определенного типа, определите:
a) количество веток данного растения;
б) количество почек;
в) покажите, что сумма нагрузок всех веток равна сумме удаленностей всех почек.
Совет. Можно действовать по индукции, показывая, что если некоторый результат верен для данного растения, он будет верен и для растения, в котором почка заменена парой веток с почками на конце.
обсуждение
3. Точка `P` лежит на стороне `AB` произвольного треугольника `ABC`. Проведите из точки `P` отрезок, делящий треугольник на две фигуры одинаковой площади.
обсуждение
4. Зная, что полиномы `2x^5 - 13x^4 + 4x^3 + 61x^2 + 20x-25 ` и `x^5 - 4x^4 - 13x^3 + 28x^2 + 85x+50` имеют два общих корня кратности `2`, найдите остальные их корни.
обсуждение
Segunda sesión
5. В сессии на шестом курсе Центра физику сдали по крайней мере 70% студентов, математику — как минимум 75%, философию — как минимум 90%, язык — минимум 85%. Какое минимальное количество студентов сдало все четыре экзамена?
обсуждение
6. Дана окружность `gamma` и точки `A` и `B`. Через точку `B` проводится секущая, пересекающая окружность в точках `M` и `N`. Точка `O` - центр окружности, описанной около треугольника `AMN`. Найдите геометрическое место точек `O`.
обсуждение
7. Вычислите значения косинусов углов `x`, удовлетворяющих следующему уравнению: `sin^2 x - 2 cos^2 x + 1/2 sin 2x = 0`
обсуждение
8. `M` — точка внутри окружности, находящаяся на расстоянии `OM = d` от ее центра `O`. Из `M` хорды `AB` и `CD` видны под прямым углом. Соедините `A` с `C` и `B` с `D`. Определите косинус угла между хордой `AB` и отрезком `OM`, при котором сумма площадей треугольников `AMC` и `BMD` будет минимальной.
обсуждение
Дилетант & Диана Шипилова (1)
-
-
14.05.2014 в 21:23Primera sesión
1. Вычислить `sum_{k=5}^{k=49} ( 11_{k} )/( 2^{root(3)(1331_{k})} )`, где числа `11` и `1331` записаны в системе счисления с основанием `k > 4`.
обсуждение
2. В некоторой геометрии работают с двумя типами элементов - точками и прямыми, связанными между собой следующими аксиомами:
I. Для любых двух точек `A` и `B` существует единственная прямая `(AB)`, проходящая через обе точки.
II. На любой прямой есть по крайней мере две различные точки. Существуют три точки, не расположенные на одной прямой.
III. Если точка `В` находится между `A` и `C`, то `B` также располагается между `C` и `A` (`A, B, C` - три различных точки на прямой).
IV. Для любых двух точек `A` и `C`, существует по крайней мере одна точка `B` на прямой линии `(BC)` такая, что `C` располагается между `A` и `B`.
V. Из трех точек на одной прямой, не более одной точки находится между двумя другими.
VI. Если `A, B, C` не расположенные на одной прямой, то существует прямая, не содержащая ни одной из трех точек, которая проходит через точку из `[AB]`и через точку из `[BC]` или `[AC]`. (Через `[AB]` обозначено множество точек , которые находятся между точками `A` и `B`)
Из приведенных выше аксиом выведите следующие утверждения:
Теорема 1. Для любых различных точек `A` и `C` существует по крайней мере одна точка `B`, лежащая между ними.
Теорема 2. Из трех точек, расположенных на одной прямой, одна всегда расположена между двумя другими.
обсуждение
3. Докажите, что если `0 < p , \ 0 < q` и `p + q < 1`, то `(p*x + q*y)^2 < p*x^2 + q*y^2`.
обсуждение
4. Докажите, что в любом треугольнике со сторонами `a, b, c`, противолежащими углам `A, B, C` , выполняется неравенство (углы измеряются в радианах) `(a*A + b*B + c*C)/(a + b +c) >= pi/3`.
Указание: Используйте тот факт, что из `a >= b >= c` следует `A >= B >= C`.
обсуждение
Segunda sesión
5. Докажите, что для любого комплексного числа `z` выполняется равенство `(1 +z^{2^n})(1-z^{2^n}) = 1 - z^{2^{n+1}}`. Умножая равенства при значениях `n = 0, 1, 2, ...`, докажите, что для `|z| < 1` верно, что `1/(1-z) = lim_{k->oo} (1+z)(1+z^2)(1+z^{2^2})...(1+z^{2^k})`
обсуждение
6. Скорости движения подводной лодки в подводном и надводном положениях равны соответственно `V` и `k*V`. Лодка расположена в точке `P`, удалённой на 30 миль от точки `O` - центра круга радиуса 60 миль. Внутри круга лодка всегда перемещается под водой. Исследуйте вопрос о влиянии значения `k` на время наискорейшего перемещения лодки в точку, расположенную на противоположном конце диаметра, проходящего через точку `P`. (Рассмотреть частный случай `k = sqrt(5)`)
обсуждение
7. Преобразуйте при помощи инверсии два концентрических, лежащих в одной плоскости, круга в два равных.
обсуждение
8. Из чисел `1, 2, 3, ..., 2n` выбираются `(n + 1)` различных. Доказать, что среди выбранных чисел есть по крайней мере два, таких что одно делит другое.
обсуждение
All_ex, mpl
-
-
08.07.2014 в 23:22Primera sesión
1. Пусть `K` - кольцо и `M` - матрицы 2x2 с элементами из `K`. Для `M` определены обычные операции сложения и умножения матриц. Требуется:
а) Убедитесь, что `M` является некоммутативным кольцом с единицей.
б) Проверьте, что если `K` является коммутативным полем, то для элементов `M` существуют обратные при `ad - bc != 0`.
в) Покажите, что подмножество `M`, состоящее из обратимых элементов, является мультипликативной группой.
обсуждение
2. Точка движется по сторонам треугольника `ABC`. `А (-1.8; 0)`, `B (3.2; 0)`, `С (0; 2.4)`. Определите положение точки, для которой сумма расстояний до трех вершин максимальна или минимальна.
обсуждение
3. Дана правильная шестиугольная призма. Найдите ломанную, которая начинается в вершине одного основания, пересекает все боковые грани и заканчивается в вершине другого основания, расположенной на той же грани, что и исходная вершина, не лежит с исходной вершиной на одном ребре, и имеет минимальную длину.
обсуждение
4. Определим на плоскости следующие множества точек:
A = {точки, соответствующие комплексным числам `z`, для которых `Arg (z - (2 + 3i)) = pi / 4`},
В = {точки, соответствующие комплексным числам `z`, для которых `|z - (2 + i)| < 2`}.
Найдите ортогональную проекцию на ось `Ox` множества `A nn B`.
обсуждение
Segunda sesión
5. Даны две параллельные прямые `r` и `r'` и точка `P` на плоскости, лежащая между прямыми. Постройте равносторонний треугольник, одной из вершин которого является точка `P`, а две другие лежат по одной на данных прямых.
обсуждение
6. Даны три окружности с радиусами `r`, `r'` и `r''`, каждая из которых внешним образом касается двух других. Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются три центра этих окружностей.
обсуждение
7. Докажите, что для любого натурального `n` число `A_n = 5^n + 2 * 3^{n-1} + 1` кратно 8.
обсуждение
8. Известно, что `RR^3 = {(x_1, x_2, x_3) | x_i in RR, i = 1, 2, 3}` есть векторное пространство c операциями
`(x_1, x_2, x_3) + (y_1, y_2, y_3) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)` и
`lambda (x_1, x_2, x_3) = (lambda x_1, lambda x_2, lambda x_3), `lambda in RR`.
Рассмотрим следующую подмножество `RR^3`:
`L = {(x_1, x_2, x_3) in RR^3 | x_1 + x_2 + x_3 = 0}`.
а) Покажите, что `L` является векторным подпространством `RR^3`.
б) Для `RR^3` определим отношение `bar{x}mathcal{R}bar{y} iff bar{x} - bar{y} in L`, `bar{x}, bar{y} in RR^3`. Докажите, что это отношение эквивалентности.
в) Найти два вектора из `RR^3`, принадлежащие к тому же классу эквивалентности, что и вектор `(-1, 3, 2)`.
обсуждение
mpl
-
-
23.09.2014 в 01:48Primera sesión
1. Определите минимальный элемент последовательности `a_n = 1/4 * n^4 - 10*n^2*(n - 1)`, где `n = 0, 1, 2, ldots`
обсуждение
2. Найдите все решения системы их трёх линейных уравнений и одного линейного неравенства
`{(2*x - 5*y + 11*z - 6 = 0), (-x + 3*y - 16*z + 8 = 0), (4*x - 5*y - 83*z + 38 = 0), (3*x + 11*y - z + 9 > 0):}`
обсуждение
3. В комплексной плоскости задана последовательность:
`a_0 = 1, \ & \ a_n = a_{n-1}+1/n (cos45^@ + i*sin45^@)^n.`
Докажите, что последовательность действительных частей элементов последовательности `{a_n}` сходится и ее предел представляет собой число от `0.85` до `1.15`.
обсуждение
4. Даны две концентрические окружности `C` и `C'` радиусов `r` и `r'` соответственно. Определите отношение радиусов `{r'}/r`, при котором в кольце, ограниченном `C` и `C'`, можно расположить окружности `C_1, ldots , C_8`, которые касаются `C` и `C'`, а также `C_i` касается `C_{i+1}` и `C_8` касается `C_1`.
обсуждение
Segunda sesión
5. Рассматривается множество многочленов не выше четвёртой степени с рациональными коэффициентами:
а) покажите, что множество является векторным пространством над полем рациональных чисел;
б) покажите, что многочлены `1, \ x - 2, \ (x - 2)^2 , \ (x - 2)^3, \ (x - 2)^4` образуют базис оного пространства;
в) разложите многочлен `7 + 2*x - 45*x^2 + 3*x^4` по означенному базису.
обсуждение
6. Имеем равносторонний треугольник с высотой равной `1`. Для любой точки `P` внутри треугольника обозначим через `x, y, z` расстояния до сторон.
а) Докажите, что для любой точки `P` выполнено равенство `x + y + z = 1`.
б) Укажите, для каких точек расстояние до одной их сторон больше, чем сумма до двух других.
в) Отрезок длины `1` случайным образом делим на три части. С какой вероятностью из полученных частей можно составить треугольник.
обсуждение
7. На координатной плоскости имеем точки `P(8; 2)` и `Q(5; 11)`. Рассмотрим путь от `P` до `Q`, который должен удовлетворять следующим условиям:
- от точки `P` движемся в точку на оси `Ox`, имеющую координату `0 <= x <= 1`;
- от этой точки движемся в точку на оси `Oy`, имеющую координату `0 <= y <= 2`;
- от последней точки движемся к точке `Q`.
Среди всевозможных таких путей, определить путь минимальной длины и найти её.
обсуждение
8. В трехмерном евклидовом пространстве обозначим `u_1, u_2, u_3` три ортогональных единичных вектора направленных вдоль осей `x, y, z` соответственно.
а) Покажите, что точка `P(t) = (1 - t)*u_1 + (2 - 3*t)*u_2 + (2*t - 1)*u_3`, где `t` принимает все действительные значения, описывает прямую (которую мы обозначим через `L`).
б) Что описывает точка `Q(t) = (1 - t^2)*u_1 + (2 - 3*t^2)*u_2 + (2*t^2 - 1)*u_3`, если `t` принимает все действительные значения?
в) Найти вектор параллельный `L`.
г) При каких значениях `t` точка `P(t)` принадлежит плоскости `2*x + 3*y + 2*z + 1 = 0`?
д) Найти декартово уравнение плоскости, параллельной последней и содержащей точку `P(3)`.
е) Найти декартово уравнение плоскости, перпендикулярной `L` и содержащей точку `P(2)`.
обсуждение
All_ex
-
-
11.02.2015 в 20:58Primera sesión
1. Правильный додекаэдр является правильным многогранником, образованным 12 равными пятиугольниками, 3 стороны которых сходятся в каждой вершине додекаэдра. Вычислите наиболее просто
а) число вершин,
б) число ребер,
в) количество диагоналей всех сторон,
г) число отрезков, определяемых всеми парами вершин,
е) число диагоналей додекаэдра.
обсуждение
2. Из металлического диска вырезается круговой сектор, оставшаяся часть диска используется как форма при изготовлении стеклянного конуса максимального объема. Определите, в радианах, величину угла вырезанного сектора.
обсуждение
3. Пусть `Z_ {(5)}` обозначает некоторое подмножество множества рациональных чисел `QQ`. Рациональное число принадлежит `Z_ {(5)}` тогда и только тогда, когда 5 является делителем не всех дробей, представляющих это число. (Например, рациональное число 13/10 не принадлежит `Z_ {(5)}`, поскольку знаменатели всех дробей, равных `13/10`, кратны 5. Рациональное число `75/10` принадлежит `Z_ {(5)}`, так как `75/10 = 15/2`).
Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:
а) Какой алгебраической структурой (полугруппа, группа и т.д.) является `Z_ {(5)}` относительно операции сложения?
б) А относительно умножения?
с) Является ли `Z_ {(5)}` подкольцом `QQ`?
г) Является ли `Z_ {(5)}` векторным пространством?
обсуждение
4. Три стороны равностороннего треугольника отражают световые лучи (за исключением его вершин), так что лучи света от источника, расположенного внутри в плоскости треугольника, отражаются в его внутреннюю область. Найдите длину пути светового луча, который был выпущен из вершины треугольника и достиг другой его вершины после отражения последовательно от трех сторон, при условии, что длина стороны треугольника равна 1 м.
обсуждение
Segunda sesión
5. Пусть `(G, *)` группа с нейтральным элементом `e`. Докажите, что если все элементы `x in G` удовлетворяют условию `x * x = e`, то `(G, *)` абелева (то есть коммутативная).
обсуждение
6. В круге единичного радиуса проведены две хорды `AB` и `AC` равной длины.
а) Покажите, как можно построить третью хорду `DE`, которая делится на три равные части точкам пересечения с `AB` и `AC`.
б) Если `AB = AC = sqrt{2}`, то на части какой длины `DE` разбивает `AB`?
обсуждение
7. Бак имеет форму правильной шестиугольной призмы, стороны основания которого равны `1 m`, а высота `10 m`. Бак наклонен на некоторый угол и частично наполнен водой, объем которой равен `9 m^3`. Плоскость свободной поверхности воды пересекает все боковые рёбра. `2 m` бокового ребра призмы находится под водой. Какая часть противоположного бокового ребра находится под водой?
обсуждение
8. Стороны выпуклого `(L + M + N)`-угольника раскрашены в три цвета: `L` сторон красным, `M` сторон желтым и `N` сторон синим. Выразите в виде неравенств необходимые и достаточные условия такой раскраски, при которой две смежные стороны не окрашены одним и тем же цветом.
обсуждение
Диана Шипилова, mpl, All_ex
-
-
10.08.2015 в 23:32Primera sesión
1. Вычислите предал `lim_{n to infty} 1/n (1/n^k + 2^k/n^k + ... + (n-1)^k/n^k + n^k/n^k)`.
(Для вычисления этого предела можно воспользоваться построением интеграла)
обсуждение
2. Исследуйте вещественную функцию `f(x) = (1+1/x)^x` определенную на `x in RR setminus [-1, 0]`. Постройте график.
обсуждение
3. Пусть `Z_ {(5)}` обозначает некоторое подмножество множества рациональных чисел `QQ`. Рациональное число принадлежит `Z_ {(5)}` тогда и только тогда, когда 5 является делителем не всех дробей, представляющих это число. (Например, рациональное число 13/10 не принадлежит `Z_ {(5)}`, поскольку знаменатели всех дробей, равных 13/10, кратны 5. Рациональное число 75/10 принадлежит `Z_ {(5)}`, так как 75/10 = 15/12).
Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:
а) Какой алгебраической структурой (полугруппа, группа и т.д..) является `Z_ {(5)}` относительно операции сложения?
б) А относительно умножения?
с) Является ли `Z_ {(5)}` подкольцом `QQ`?
г) Является ли `Z_ {(5)}` векторным пространством?
4. Докажите, что если произведение n вещественных положительных чисел равно 1, то их сумма больше или равна n.
Segunda sesión
5. На плоскости лежат прямая `r` и две точки `A` и `B`, которые не принадлежат этой прямой и находятся от нее в одной полуплоскости. Найдите на прямой r точку `M`, такую что угол между `r` и `AM` вдвое больше, чем между `r` и `BM`.
обсуждение
6. Пусть `{x_n}` и `{y_n}` две последовательности натуральных чисел, определяемые следующим образом:
`x_1 = 1, \ x_2 = 1, \ x_{n+2} = x_{n+1} + 2*x_n` при` n =1, 2, 3,...` и `y_1 = 1, \ y_2 = 7, \ y_{n+2} = 2*y_{n+1} + 3*y_n` при `n =1, 2, 3,...`
Докажите, что за исключением случая `x_1 = y_1 =1`, не существует ни одного натурального числа, присутствующего в обеих последовательностях.
обсуждение
7. Рассмотрим вещественную функцию
`f(x) = 1/(|x +3| + |x +1| + |x - 2| + |x - 5|)`
определенную для всех x in RR.
а) найдите ее максимум;
б) постройте график.
обсуждение
8. Наудачу выбираются два числа между 0 и 1. Вычислите вероятность того, что одно из них меньше квадрата другого.
обсуждение
Дилетант
-
-
05.02.2016 в 20:36Primera sesión
1. Четыре точки A, B, C, D лежат на одной плоскости, причем, никакие три из них не лежат на одной прямой. Постройте квадрат со сторонами a, b, c, d так, чтобы для него выполнилось: `A in a`, `B in b`, `C in c`, `D in d`.
обсуждение
2. Рассмотрим множество `C` всех кортежей длины `r` с компонентами `1` или `-1`. Вычислите сумму всех компонентов всех элементов множества `C` за исключением `r`-кортежа `(1,1,1,... , 1)`.
обсуждение
3. Объектив камеры инвертирует изображение в зеркале заднего вида нашей машины. Если в зеркале отражается номерной знак CS-3965-EN автомобиля, который следует за нами, нарисуйте изображение, которое мы получим в объективе. Нарисуйте также изображение, полученное с помощью перестановки вышеуказанных преобразований, то есть изображение в зеркале, отражающем образ, который дает объектив камеры регистрации. Коммутируют ли эти два преобразования: отражение в зеркале и преломление через объектив?
обсуждение
4. Докажите, что выражение `(n^5 - 5*n^3 + 4*n)/(n + 2)`, где `n` - произвольное целое число, всегда делится на `24`.
обсуждение
Segunda sesión
5. Покажите, что уравнение `z^4 + 4*(i + 1)*z +1 =0` имеет корень в каждой четверти комплексной плоскости.
обсуждение
6. Дана квадратная матрица `M` размера `n xx n` над полем вещественных чисел. Выразите через `M` две матрицы, одну симметричную и одну антисимметричную, такие, что их сумма в точности равна `M`.
обсуждение
7. Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. Покажите, что если из одного бриллианта сделать два, произойдет их обесценивание. Когда обесценивание будет максимальным?
обсуждение
8. Дана функция `y = |x^2 - 4*x + 3|`. Исследуйте ее на непрерывность и дифференцируемость в точке с абсциссой `1`. Ее график с осью `Ох` образует замкнутую фигуру. Найдите площадь этой фигуры.
обсуждение
Дилетант
-
-
03.02.2022 в 20:061. Найдите все положительные числа $x$ такие, что $2x+1$ является квадратом целого числа, а ни одно из чисел $2x+2,$ $2x+3,$ ..., $3x+2,$ таким квадратом не является.
обсуждение
2. Пусть $2n+1$ фишек, белых и черных, выложили в ряд ($n\ge 1$). Назовём фишку сбалансированной, если сумма количества белых фишек слева от неё и количества чёрных фишек справа от неё равна $n.$ Определите, является ли количество сбалансированных фишек чётным или нечётным. Ответ обоснуйте.
обсуждение
3. Точка O --- центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, точка M лежит на стороне AB, описанная окружность треугольника AMO пересекает повторно прямую AC в точке K, описанная окружность треугольника BOM пересекает повторно прямую BC в точке N.
Докажите, что Площадь (MNK) `>= 1/4` Площади (ABC), и определите, в каких случаях достигается равенство.
обсуждение
4. Все точки сферы радиуса 4 окрашены в один из четырёх разных цветов.
Докажите, что на сфере найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми будет равно $4\sqrt{3}$ или $2\sqrt{6}.
Примечание: Под расстоянием между точками сферы в данном случае понимается длина соединяющего их отрезка.
обсуждение
5. Пусть $a$ и $b$ --- положительные целые взаимно простые числа. Положительное целое число $n$ назовём неподходящим, если его нельзя представить в виде $n = ax + by,$ где $x$ и $y$ --- неотрицательные целые числа. Докажите, что если число $n$ неподходящее и $n < \frac{ab}{6},$ то существует целое число $k \ge 2$ такое, что $kn$ является неподходящим.
обсуждение
6. Пусть $\mathbb{R}^+$ обозначает множество положительных действительных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ такие, что $f(x + f(y)) = yf(xy + 1),$ для всех $x, y > 0.$
обсуждение