вторник, 16 июля 2013
00:44

Максимальная длина отрезка

все записи пользователя в сообществе wpoms.
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Дан равносторонний треугольник ABC, длина его стороны равна a. Вокруг треугольника описана окружность. Рассмотрим круговой сегмент, ограниченный хордой AB и дугой окружности (`120^o`) с теми же концами. Круговой сегмент пересекают прямыми, параллельными стороне BC, в результате чего получаются отрезки, концами которых являются точки пересечения прямых с границей сегмента. Определите максимальную длину подобного отрезка.



@темы: Задачи на экстремум, Планиметрия

URL
Комментарии
16.07.2013 в 03:59

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Надо уточнить, сколько прямых и как они проведены.
URL
16.07.2013 в 13:55

wpoms.
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
VEk, сколько прямых и как они проведены
Круговой сегмент пересекают прямыми, параллельными стороне BC, - всевозможными
URL
17.07.2013 в 00:14

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Для простоты будем считать `a = 2*sqrt(3)`...
Расположим точки `B` и `C` на оси `Ox` симметрично относительно начала координат... то есть `B(sqrt{3}; 0)`... Тогда точка `A` будет располагаться на оси `Oy` и иметь координаты `A(0; 3)`... Центр описанной окружности `O(0; 1)`... Таким образом, сегмент расположен в первой четверти...
`x^2 + (y - 1)^2 = 12` - уравнение описанной окружности...
`x*sqrt(3) + y = 3` - уравнение прямой `AB`...
Прямые, параллельные `BC` (то есть оси `Ox`) пересекают по отрезку, длина которого равна `L(y) = sqrt{12 - (y - 1)^2} - {3 - y}/{sqrt(3)}, \ \ y in [0, 3]`...

Дальше понятно что делать... только ответ выходит угловатым... :upset: ...
Если не просчитался, то `L_{max} = {14*sqrt(3) - 2*sqrt(13)}/{sqrt(39)}`...
URL