Минимальный элемент

[wpoms.]

Определите минимальный элемент последовательности `a_n = 1/4 * n^4 - 10*n^2*(n - 1)`, где `n = 0, 1, 2, ldots`

@темы: Задачи на экстремум

Comments

[vyv2]

`a_29=-58659,75`

[Груша Вильямс]

`f'(n)=n^3-30n^2+20n=n(n^2-30n+20)=0`
`n_1=0`, `n_2=15-sqrt(205)<1`, `n_3=15+sqrt(205)>29` -> `n_min=29`.

[All_ex]

Груша Вильямс, ну, надо ещё показать. что `n_3` точка минимума... и проверить, что `a_{30} > a_{29}` ...

[Груша Вильямс]

All_ex, лень было)
Определим знаки на интервалах `(0; 15-sqrt(205) )`, `( 15-sqrt(205); 15+sqrt(205) )` и `(15+sqrt(205); infty)`, выберем удобные произвольные числа из этих интервалов:
1) Берём `0,5`, таким образом остаётся проверить больше ли `14,5=29/2=sqrt(841/4)=sqrt( (840+1)/4 )=sqrt(210,25) > sqrt(205)`, следовательно, число `0,5` из первого интервала;
2) Оценим границы данного интервала `0 < 15-sqrt(205) < 1`, `15+sqrt(196)=29 < 15+sqrt(205) <30= 15+sqrt(225)`, выберем `10`;
3) Выберем `100`.

`f'(1/2)=(1/8)-30*(1/4)+10=10-7,5+0,125=2,675>0` на `(n_1,n_2)`,
`f'(10)=1000-30*100+200=-1800<0` на `(n_2,n_3)`,
`f(100)=1000000-30*10000+20*100=702000>0` на `(n_3,infty)`.
Получили `n_(max)=n_2=15-sqrt(205)` и `n_(min)=n_3=15+sqrt(205)`.

[All_ex]

Груша Вильямс, Получили ... `n_(min)=n_3=15+sqrt(205)`. - но это же номер... про сравнение 29 и 30 элемента опять забыли...

[Груша Вильямс]

All_ex, как? Мы же исследовали функцию `f(n)` и нашли точку минимума `n_min=29`, значит наименьшее значение `f(29)` вроде бы...

p.s. слишком дотошно чет там расписал, методом интервалов можно было, тогда один случай только рассмотреть

[All_ex]

Груша Вильямс, нашли точку минимума - так в предыдущих комментариях было `n_(min)=n_3=15+sqrt(205)`... это вроде не совсем 29 ...

[Груша Вильямс]

All_ex, понял, вот `15+sqrt(196)=29 \ < \ 15+sqrt(205) \ < \ 30=15+sqrt(225)`, значит 29