Максимальный объём

[wpoms.]

Из металлического диска вырезается круговой сектор, оставшаяся часть диска используется как форма при изготовлении стеклянного конуса максимального объема. Определите, в радианах, величину угла вырезанного сектора.

@темы: Задачи на экстремум, Стереометрия

Comments

[Груша Вильямс]

Где ошибка?
Дуга оставшейся части диска `(2pi-\alpha)r` равна дуге развертки боковой поверхности конуса `2piR`, т.е. радиус основания конуса `R=( (2pi-alpha)r ) / (2pi)`, а радиус диска `r` равен образующей конуса, т.е. высота конуса равна `h=sqrt(R^2+r^2)=sqrt( ( (2pi-alpha)^2*r^2 ) / ((2pi)^2) + r^2)=( rsqrt ( (2pi-alpha)^2+4pi^2 ) )/ (2pi)`, тогда его объем
`V = pi/3*( (2pi-alpha)^2*r^2 ) / ((2pi)^2)*( rsqrt ( (2pi-alpha)^2+4pi^2 ) )/ (2pi) = (2pi-alpha)^2*sqrt((2pi-alpha)^2+4pi^2) * (r^3) / (24pi^2) `.
Из `(dV) / (dalpha)=0` получается `alpha=2pi`.

[Груша Вильямс]

Видать в вычислениях ошибся, удобно через замену `t=2pi-alpha`, тогда `(dV) / (dt) = (2t(2t^2+4pi^2))/(sqrt(t^2+4pi^2))=0` откуда `t = (2pi) / (sqrt2)`,
`alpha=2pi-t=((sqrt(2)-1)sqrt(2)pi)/2`.

[All_ex]

Груша Вильямс, т.е. высота конуса равна `h = sqrt(R^2 + r^2)` - вроде как `h = sqrt( r^2 - R^2)` должно быть ...

[Груша Вильямс]

All_ex, да, ошибка вышла, не заметил.