Треугольник и сфера

[wpoms.]

Сделанный из проволоки равносторонний треугольник со стороной `l` покоится на твердой сфере радиуса `r`, так что она проходит сквозь него и выходит сверху. На каком расстоянии от центра сферы находятся вершины треугольника?

@темы: Стереометрия

Comments

[Adjirranirr]

Обозначим `t` — радиус вписанной, `T` — радиус описанной вокруг треугольника окружностей. Тогда `S = \sqrt(p (p - a) (p - b) (p - c)) = \frac{ l^2 \sqrt(3)}{4},\ t = \frac {S} {p} = \frac{l \sqrt{3}} {6},\ T = \frac {a*b*c} {4 S} = \frac {l \sqrt(3)} {3}`.
Пересечение плоскости треугольника со сферой есть вписанная в этот треугольник окружность; пусть `h` — расстояние от центра сферы до ее центра. Тогда `r^2 = h^2 + t^2 <=> h^2 = r^2 - \frac {l^2} {12}`. Расстояние от центра вписанной окружности до вершины треугольника — радиус описанной окружности (так как для равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают). Тогда, по теореме Пифагора, искомое расстояние `L` удовлетворяет равенству `L^2 = h^2 + T^2`, или `L = \sqrt(r^2 - \frac {l^2}{12} + \frac {l^2} {3}) = \sqrt(r^2 + \frac {l^2}{4})`.

upd: Исправлено в связи с корректировкой условия.

[к.черный]

равносторонний треугольник со стороной покоится на твердой сфере радиуса , так что она проходит сквозь него и выходит сверху.

подобные задачи в наших школьных учебниках формулируются так: "шар (сфера) данного радиуса касается всех сторон эн-угольника..." или "стороны эн-угольника касаются сферы..."
Например, задача № 39 (параграф 20) Погорелова "геометрия 7-11":
Шар радиуса R касается всех сторон правильного треугольника со стороной a. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

В Атанасяне 3 задачи (№583, 584, 585) на подобное расположение сферы и 1) равнобедренного треугольника, 2) разностороннего треугольника и 3) ромба. Во всех трех задачах нужно найти расстояние от центра сферы до плоскости многоугольника. Надо будет добавить задание найти расстояние от центра сферы до вершин многоугольника