Последовательности

[wpoms.]

Пусть `{x_n}` и `{y_n}` две последовательности натуральных чисел, определяемые следующим образом: `x_1 = 1, \ x_2 = 1, \ x_{n+2} = x_{n+1} + 2*x_n` при` n =1, 2, 3,...` и `y_1 = 1, \ y_2 = 7, \ y_{n+2} = 2*y_{n+1} + 3*y_n` при `n =1, 2, 3,...` Докажите, что за исключением случая `x_1 = y_1 =1`, не существует ни одного натурального числа, присутствующего в обеих последовательностях.

@темы: Теория чисел

Comments

[kostyaknop]

Формула общего члена для первой последовательности (2^n-(-1)^n)/3, а для второй - (2*3^n+3*(-1)^n)/3. То бишь нужно доказать, что уравнение 2^n-(-1)^n=2*3^k + 3(-1)^k имеет только тривиальные решения в нат.числах (k=1, n=1 или n=2). Ну вроде ничего трудного, просто четыре разных случая по чётности нужно разобрать...