Монотонность

[wpoms.]

Известно, что действительная функция `f (t)` монотонно возрастает на отрезке `-8 <= t <= 8`, но ее поведение вне этого отрезка неизвестно. Какому интервалу должна принадлежать переменная `x`, чтобы можно было гарантированно сказать, что функция `y = f (2x-x^2)` монотонно возрастает?

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

Comments

[VEk]

Наверное, задача для старших школьников или студентов-первокурсников

.

Ответ: `x in [-2;4]`

[Adjirranirr]

VEk, функция `f(t) = t` монотонно возрастает на `[-8;\ 8]`, а вот `g(x) = f(2x - x^2) = 2x - x^2` при `x \in [-2;\ 4]` — нет.

[Груша Вильямс]

Не так разве
`{(-x^2+2x+8>=0),(-x^2+2x-8<=0):}`
`x in(-\infty;-2]uu[4;\infty)`
?

[Adjirranirr]

Груша Вильямс, тот же пример =)

[All_ex]

Adjirranirr, ну, я ещё попробую...

Найдём `{df(2*x - x^2)}/{dx} = f'(2*x - x^2)*(2 - 2*x)` ... для знакопостоянства этого произведения нужно, чтобы `-8 <= 2*x - x^2 <= 8` и выражение `(1 - x)` имело постоянный знак...
Итого получаем, что `x in [-2; 1]` или `x in [1; 4]`...

[Груша Вильямс]

All_ex, что-то вообще не врубаюсь что значит `d{f(2x-x^2)}dx` в данной задаче...
Хотя можно сказать, что функций `f(t)` монотонно возрастающих на данном отрезке уйма конечно...

[All_ex]

Груша Вильямс, прошу прощения... косяк в наборе формул (исправился)... ... это была полная производная по икс...

[Груша Вильямс]

All_ex, всё равно не понимаю, с мат анализом у меня плохо (даже более чем плохо - на уровне егэ), но чувствую его тут особо и нету...
Мы знаем что функция `f(t)` возрастает на `t in [-8;8]` и если `t=2x-x^2`, то при каких `x` `f(t)` возрастает? Вообще не понимаю как это делать, однозначно можно сказать, что что-то `x in [-2;4]` должно пересекать, но что? Если взять производную по `2x-x^2`, то из `1-x>=0` можно сказать на каких `x` `f(x)` возрастает, но как понять что из этого следует возрастание `f(f(x))` ?

[VEk]

Ответ, скорее `[-2;1]`, а вот обоснование надо писать аккуратнее. Про дифференцируемость функции ничего не сказано, поэтому пользоваться ею не совсем правильно.

[All_ex]

VEk, ну, да... про производную - это мои вольности... надо было определение расписать...
Предположим, что `f` - возрастает на данном в условии отрезке...
Тогда `forall x_1 < x_2 in [-2; 1] \ (or [1; 4]) \ \ => \ \ t_1 = 2*x_1 - x_1^2 < (>) t_2 = 2*x_2 - x_2^2 \ \ => \ \ f(t_1) < (>) f(t_2)`...
или можно было сослаться на то, что имеем суперпозицию двух монотонных функций...