Додекаэдр

[wpoms.]

Правильный додекаэдр является правильным многогранником, образованным 12 равными пятиугольниками, 3 стороны которых сходятся в каждой вершине додекаэдра. Вычислите наиболее просто а) число вершин, б) число ребер, в) количество диагоналей всех сторон, г) число отрезков, определяемых всеми парами вершин, е) число диагоналей додекаэдра.

@темы: Стереометрия

Comments

[Груша Вильямс]

а) У двенадцати пятиугольников 12*5 вершин, но додекаэдр устроен так, что из каждой вершины выходят три стороны, иными словами каждая вершина принадлежит одновременно трём пятиугольникам, т.е. вершин додекаэдра в три раза меньше - 20.
б) Поскольку додекаэдр ограничен двенадцатью пятиугольными гранями, каждая из которых имеет по пять сторон, и любая сторона каждого пятиугольника принадлежит одновременно двум граням додекаэдра, то всего у додекаэдра имеется тридцать рёбер.
Альфред Реньи, "Диалоги о математике", стр.27.
в) Количество диагоналей всех граней ? Из каждой точки грани выходят по две диагонали (соседние точки не считаем), всего получается десять, но каждая диагональ подсчитана два раза, следовательно, в каждой грани 5 диагоналей, а в гранях тетраэдра все 60.
г) `C_20^2=190`.

[Груша Вильямс]

д) Из каждой грани выходит 5*10 диагоналей, всего диагоналей 12*5*10, но каждая диагональ подсчитана два раза, следовательно, 6*5*10=300.

[Груша Вильямс]

Всё же не так получилось.
д) Из каждой точки додекаэдра выходит 10 дигоналей (рассматривал 3 соседние грани, считал точки и вычитал из общего числа точек), значит диагоналей всего 20*10/2=100.