Алгебраическая структура

[wpoms.]

Пусть `Z_ {(5)}` обозначает некоторое подмножество множества рациональных чисел `QQ`. Рациональное число принадлежит `Z_ {(5)}` тогда и только тогда, когда 5 является делителем не всех дробей, представляющих это число. (Например, рациональное число 13/10 не принадлежит `Z_ {(5)}`, поскольку знаменатели всех дробей, равных `13/10`, кратны 5. Рациональное число `75/10` принадлежит `Z_ {(5)}`, так как `75/10 = 15/2`). Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы: а) Какой алгебраической структурой (полугруппа, группа и т.д.) является `Z_ {(5)}` относительно операции сложения? б) А относительно умножения? с) Является ли `Z_ {(5)}` подкольцом `QQ`? г) Является ли `Z_ {(5)}` векторным пространством?

@темы: Высшая алгебра

Comments

[Гость]

К `Z_{(5)}` принадлежат рациональные числа, не все представления которых кратны пяти, т.е. числа вида `p/q` - несократимая дробь, где знаменатель принимает все натуральные значения кроме пяти.
а) Т.к. при сложении дробей знаменатели перемножаются, то сложив получим знаменатель не кратный пяти, т.е. для любых двух элементов множества `Z_{(5)}` получим элемент этого же множества. Нейтральный элемент `0/10=0/2=0` , к каждому элементу имеется противоположный, условие ассоциативности выполняется, коммутативности тоже. Но один и тот же элемент множества получается если применить операцию сложения как к одной паре, так и к другой, да и не только к паре, например: `2/3+3/4=17/12`, `5/6+7/12=17/12`, `1/6+1/3+1/2+5/12=17/12`. Что это?

[Груша Вильямс]

К `Z_{(5)}` принадлежат рациональные числа, не все представления которых кратны пяти, т.е. числа вида `p/q` - несократимая дробь, где знаменатель принимает все натуральные значения кроме пяти.
а) Т.к. при сложении дробей знаменатели перемножаются, то сложив получим знаменатель не кратный пяти, т.е. для любых двух элементов множества `Z_{(5)}` получим элемент этого же множества (точнее для любых `k` элементов). Нейтральный элемент `0/10=0/2=0` , к каждому элементу имеется противоположный, условие ассоциативности выполняется, коммутативности тоже. Но один и тот же элемент множества получается если применить операцию сложения как к одной паре, так и к другой, да и не только к паре, например: `2/3+3/4=17/12`, `5/6+7/12=17/12`, `7/12+17/12+(-7/12)=17/12`, `1/6+1/3+1/2+5/12=17/12`. Что это?

[All_ex]

Груша Вильямс, Но один и тот же элемент множества получается если применить операцию сложения как к одной паре, так и к другой ... Что это?
А что смущает?... ... на множестве натуральных чисел тоже такое есть ... `1 + 4 = 2 + 3 = 5` ...

[Груша Вильямс]

All_ex, что-то меня замкнуло) Тогда получается, что группа. В б) тоже группа, только нейтральный элемент `5/5=2/2=1`. В пункте в) будет всё то же самое что и в первых двух + условие дистрибутивности, поэтому кольцо получается. Правда, что такое подкольцо и векторное пространство я не знаю.