воскресенье, 21 июля 2013
05:01

На рисунке

все записи пользователя в сообществе wpoms.
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

На вертикально расположенном рисунке точки A и B находятся на горизонтальной прямой, полуокружность с концами в точках A, B расположена ниже этой прямой. Отрезок, длина которого равна длине диаметра полуокружности, перемещается, при этом он всегда содержит точку A и один из его концов принадлежит полуокружности. Какую величину должен иметь косинус угла между отрезком и прямой для того, чтобы середина отрезка находилась так низко, как это только возможно.



@темы: Задачи на экстремум, Планиметрия

URL
Комментарии
21.07.2013 в 05:28

Груша Вильямс
Задачу не понял, получается на отрезке AB как на диаметре построена окружность, верхнюю полуокружность убираем.
"Отрезок, длина которого равна длине диаметра полуокружности, перемещается, при этом он всегда содержит точку A и один из его концов принадлежит полуокружности."
Это как? Отрезок AB равен длине диаметра полуокружности и содержит точку А, которая принадлежит полуокружности, то есть отрезок AB вращается в вертикальной плоскости вокруг точки А, естественно он должен быть отвесом, чтобы его середина находилась на самом низком расстоянии. Угол между отрезком и прямой 90, его косинус 0.
URL
21.07.2013 в 21:01

~ghost
Всем доброго времени)
Груша Вильямс, мне кажется, не так.. (не так, как Вы прочитали). Там не об отвесном отрезке.. Там один из концов отрезка - обязательно - принадлежит окружности, т.е. один конец отрезка (пусть это будет точка `D`) "скользит" по полуокружности - и нельзя сказать, что этот отрезок « вращается вокруг точки `A` » ( разве что прямая `AD` вращается вокруг точки `A` - но при этом еще и расстояние `AD` меняется..), т.е. точка `A` "перестает" быть концом отрезка (она только содержится на отрезке)
Вроде это должно несложно решаться через координаты.. (только мне почему-то хочется перевернуть картинку - и говорить, что полуокружность верхняя, и точка `M` - середина отрезка `DC` ( где `|DC| = |AB|`) должна быть "как можно выше" ( ` y_M` должно быть максимальным) — чтобы не было отрицательных координат..)
как-то так:
URL
21.07.2013 в 21:38

Груша Вильямс
~ghost, да, вот до этого (скольжения диаметра) что-то не додумался :)
URL
21.07.2013 в 21:50

~ghost
Груша Вильямс, да, но решение я представляю только "координатное".. и то - похоже, придется еще и производную задействовать..
("чисто геометрического" решения - без координат, без "арифметики" - что-то не вижу..)
URL
22.07.2013 в 03:02

Груша Вильямс
~ghost, по координатам вроде красиво получается :)
`y_D=r*sin(2alpha)` - по теореме о вписанном угле;
`x_D=r+r*cos(2alpha)` - по теореме о вписанном угле;
`AD^2=|x_D|^2+|y_D|^2=r^2+2r^2*cos(2alpha)+r^2*cos^2(2alpha)+r^2*sin^2(2alpha)=2r^2(1+cos(2alpha))=4r^2*cos^2(alpha)`, `|AD|=2r*cos(alpha)`
`|AC|=2r-2r*cos(alpha)=2r(1-cos(alpha))`
`y_M=(|y_D|+|y_C|)/2=(2r*(sin(alpha)-sin(alpha)*cos(alpha))+2r*sin(alpha)*cos(alpha))/2=r*sin(alpha)`, по задаче у нас `0<=alpha<=pi/4`.
То есть при `alpha=pi/4` точка `M` как можно выше получается, `cos(pi/4)=sqrt(2)/2`.

p.s. кажется мне что через геометрические места точек как-то можно, задача про лестницу есть
"Лестница, стоявшая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз. По какой линии движется котёнок, сидящий на середине лестницы?" может принять тут котенка за точку D и пол лестницы взять...хотя опять же не понятно как с точкой А быть...
или принять что лестница не по прямому углу соскальзывает, а по полуокружности)
URL
22.07.2013 в 07:41

Adjirranirr
Только дурак нуждается в порядке — гений господствует над хаосом.
Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат с полуокружностью `y = -\sqrt(1 - x^2),\ x \in [-1;\ 1]` радиуса 1. Пусть `A = (-1,\ 0), B = (1,\ 0)`.

Тогда `{:||AB {:|| = 2` и уравнение прямой, проходящей через точку на полуокружности `C = (t,\ -sqrt(1 - t^2))` и точку `A` имеет вид `\frac {x + 1} {t + 1} = \frac {y} {-sqrt(1 - t^2)}`, откуда `y = -\frac {x + 1} {t + 1} \sqrt(1 - t^2)`. Найдем точку `M = (p,\ -\frac {p + 1} {t + 1} \sqrt(1 - t^2))`, расположенную на расстоянии `1` от точки `C`.
`(p - t)^2 + (\frac {p + 1} {t + 1} \sqrt(1 - t^2) - sqrt(1 - t^2))^2 = 1 => p = t +- sqrt(2)/2 \sqrt(t + 1)`. Так как нам необходима точка, лежащая слева от `C`, то `p = t - sqrt(2)/2 \sqrt(t + 1)` и `M = (t - sqrt(2)/2 \sqrt(t + 1),\ \frac {(\sqrt(2t + 2) - (2t + 2)) * \sqrt(1 - t^2)} {2t + 2})`. Таким образом, ГМТ точек-центров соответствующих отрезков является графиком параметрически заданной функции `x(t) = t - 1/2 \sqrt(2t + 2),\ y(t) = \frac {(\sqrt(2t + 2) - (2t + 2)) * \sqrt(1 - t^2)} {2t + 2}`. Производная этой функции `(dy)/(dx) = \frac {y'_t} {x'_t} = \frac {2t \sqrt(2t + 2) - (t + 1)} {\sqrt(1 - t^2) (2 \sqrt(2t + 2) - 1)}` обращается в ноль только при `t = 1/(16) (1 + \sqrt(33))`, где и достигается минимум.
При данном `t` точка `C` имеет координаты `(1/(16) (1 + \sqrt(33)),\ -\sqrt(1 - (1/(16) (1 + \sqrt(33)))^2))`, и угол наклона прямой `AC` есть `arctan (\frac {-\sqrt(1 - (1/(16) (1 + \sqrt(33)))^2)}{1 + 1/16(1 + \sqrt(33))})`. Тогда, так как `cos(arctan(x)) = 1/\sqrt(1 + x^2)`, то `cos(\alpha) = \frac {1} {\sqrt(1 + (\frac {-\sqrt(1 - (1/(16) (1 + \sqrt(33)))^2)}{17/16 + 1/16 \sqrt(33)})^2}} = \sqrt(33)/8 + 1/8`.


upd: Исправлена ошибка в ответе.
URL
22.07.2013 в 12:35

~ghost
Упс !.. =) вчера пыталась посчитать (только система координат была с центром в точке `A`, и располагалась так, как я там рисовала выше.. т.е. я считала полуокружность верхней), получила в ответе что-то с `sqrt(33)` - и решила, что `sqrt(33)` - "это плохо", и надо будет пересчитать..
как только смогу - доберусь еще раз до этой задачи.. ))
------------------------------------
Груша Вильямс, у меня получался `y_M` какой-то другой (точно не просто `r*sin(alpha)`- там получалось что-то "сложнее");
почему у Вас `y_C` такое ? (мне кажется, с этим `y_C` там что-то не так..)
UPD, кажется, Вы ошиблись "на знак" - координату точки `C` Вы взяли с обратными знаками.. (по-моему..)
------------------------------------
URL
22.07.2013 в 17:50

Adjirranirr
Только дурак нуждается в порядке — гений господствует над хаосом.
Тьфу. Ошибся при упрощении корня =)
Получается `1/8 (\sqrt(33) + 1)`.
URL
23.07.2013 в 01:21

~ghost
Все-таки еще вернусь сюда =)
Немного другое решение (а ответ - да, `(sqrt(33) + 1)/8` :) )
Можно рассматривать систему координат с центром в точке `A`, с осью `OX` - на прямой `AB`, и с единицей масштаба = половине отрезка `AB` ( т.е. радиус полуокружности `r=1`)).

А "переменной" можно считать сразу тот косинус угла (`cos(/_BAD) = cos(alpha)`), который надо найти.
Т.е. я начинала делать так же, как Груша Вильямс:
угол `/_DQB = 2*/_BAD = 2*alpha`
`y_D = |DE| = |QD|*sin(2*alpha) = sin(2*alpha)`;
`x_D = |AQ| + |QD| = 1 + cos(2*alpha)`;
то есть точка `D (1 + cos(2*alpha); sin(2*alpha))`;
так как угол между `CD` и `AB` (т.е. осью `OX`) равен `alpha`, то длина проекции отрезка `CD` на `AB` (т.е. на ось `OX`) равна `|CD|*cos(alpha) = 2*cos(alpha)` {так как `|CD| = |AB| = 2`}, то есть "знаем" разность `x`- координат точек `C` и `D`, т.е. `x_D - x_C = 2*cos(alpha)`, т.е. `x_C = x_D - 2*cos(alpha) = 1 + cos(2*alpha) - 2*cos(alpha) = 2*(cos(alpha))^2 - 2*cos(alpha)`;
уравнение прямой `CD` будет `y = k*x`, т.е. `y = tg(alpha)*x`; а тогда `y_C = tg(alpha)*x_C = tg(alpha)*( 2(cos(alpha))^2 - 2*cos(alpha) ) = 2*sin(alpha)*cos(alpha) - 2*sin(alpha) = sin(2*alpha) - 2*sin(alpha)`;
т.е. точка `C ( 2*(cos(alpha))^2 - 2*cos(alpha); sin(2*alpha) - 2*sin(alpha) )`
Тогда `y`-коорд. середины отрезка: `y_M = (y_C + y_D)/2 = ( sin(2*alpha) - 2*sin(alpha) + sin(2*alpha) ) / 2 = sin(2*alpha) - sin(alpha)`,
т.е. `y_M = 2*sin(alpha)*cos(alpha) - sin(alpha) = sin(alpha)*( 2*cos(alpha) - 1 ) = sqrt(1 - (cos(alpha))^2 )*(2*cos(alpha) - 1)`;
т.е. если обозначить `t =cos(alpha)` {где `t in [0;1]` }, то получаем `y_M` как функцию от `t`:
`y(t) = sqrt(1 - t^2)*(2t - 1)` — и ищем `max` (точку максимума) такой функции ( на отрезке `[0;1]`);
производная: `y ' (t) = ( - 4t^2 + t + 2)/sqrt(1 - t^2)`, и нули производной: `t = (1 + - sqrt(33) )/8`, при чем точка максимума ` t = ( 1 + sqrt(33) )/8` ( т.е. это и есть значение `cos(alpha)`, при котором точка `M` дальше всего от `AB` )
URL
23.07.2013 в 13:56

Груша Вильямс
~ghost, да, тут на работе вспомнил, что написал `0<=alpha<=pi/4`, а это не так конечно, в полудреме уже решал)
Вечером перепроверю, я искал`|y_C|=|AC|*sin(alpha)` - через вертикальные углы.
URL
29.07.2013 в 04:20

Груша Вильямс
Разобрался, добавлю для колекции :)
Пусть длина проекции отрезка `AD` на ось `y` будет равна `|y_D|`, отрезка `AC` - `|y_C|`, отрезка `AM` - `|y_M|`, тогда
1) вариант:
`y_M=|y_M|-|y_C|=(|y_D|+|y_C|)/2-|y_C|=(|y_D|-|y_C|)/2=(|y_D|-|AC|sin(alpha))/2=(|y_D|-(2r-|AD|)sin(alpha))/2=(|y_D|-(2r-sqrt(|x_D|^2+|y_D|^2))sin(alpha))/2=`

`=(r*sin(2alpha)-(2r-sqrt((r+r*cos(alpha))^2+(r*sin(2alpha))^2))sin(alpha))/2=(2rsin(alpha)*cos(alpha)-(2r-2r*cos(alpha))sin(alpha))/2=(2rsin(alpha)(cos(alpha)-(1-cos(alpha))))/2=`

`=r*sin(alpha)(2cos(alpha)-1)`

2) вариант:
`y_M=|y_D|-|y_M|=|y_D|-|y_(CD)|/2=|AD|cos(pi/2-alpha)-(2rcos(pi/2-alpha))/2=`

`=|AD|sin(alpha)-r*sin(alpha)=2r*sin(alpha)*cos(alpha)-r*sin(alpha)=r*sin(alpha)(2cos(alpha)-1)`

А вот в самом конце проблема...

`y'_M=(r*sin(alpha)(2cos(alpha)-1))'=r*(2sin(alpha)*cos(alpha)-sin(alpha))'=r*(2cos^2(alpha)-2sin^2(alpha)-cos(alpha))=r*(4cos^2(alpha)-cos(alpha)-2)=0`,
`cos(alpha)=t`, `4t^2-t-2=0`, `D=1+16*2=33`, `t_(1,2)=(1+-sqrt(33))/8`...но максимум `(1-sqrt(33))/8` ...
Странно `y_M` такой же, производная вроде как верная (раз 10 перепроверил), а ответ другой :upset:
URL
31.07.2013 в 00:47

Груша Вильямс
Ну я и выдал, искал косинус, а дифференцировал по углу :bricks:

Хотя странно как-то вышло, и вот вопрос назрел:
Пусть `phi(cos(x))=F(x)` первообразная функции `psi(x)=a*cos^2(x)+b*cos(x)+c` , для всех ли `psi(x)`
`x_min=cos_max(x)` ?


p.s. и `|y_M|=|y_(CM)|` - длина проекции отрезка `CM`, опечатка вышла.
URL