Олимпиада Португалии по математике

[mpl]

Олимпиада Португалии по математике www.spm.pt/olimpiadas/ Олимпиада Португалии по математике - ежегодное состязание, которое проводит Португальское математическое общество для школьников 1, 2 и 3 ступеней базового образования. В этом году состоялась юбилейная 30-я олимпиада. Задачи, предлагаемые в этом конкурсе, предназначены для проверки мышления, творческих способностей и фантазии школьников. Важными качествами, оцениваемыми при проверке работ, являются логическая строгость, четкость изложения и изящество решений. Олимпиада не ставит своей целью проверку накопленных школьниками знаний, однако умственное развитие зависит и от возраста участников, что приводит к необходимости разделения участников на три группы: младшая возрастная категория (Junior), категория A и категория B. Категория Junior для школьников 6 и 7 годов обучения, категория A для школьников 8 и 9 лет обучения и категория B для старшеклассников. Олимпиада проводится в три этапа: Первый раунд, который проводится во всех школах, которые выразили желание принять в нем участие, для всех желающих. Второй раунд, который используется как региональный финал, проводится в некоторых школах по стане для школьников, прошедших отбор по правилам OPM. Национальный финал проводится в школах, приглашенных для организации этого этапа, в нем принимают участие 30 школьников каждой категории, отобранных по результатам региональных финалов. В дополнение к указанным выше категориям проводятся мини-олимпиады для школьников 3 и 4 годов обучения и пре-олимпиады для школьников 5 года обучения. Они проводятся в один этап.

@темы: Образование, Олимпиадные задачи, Новости

Comments

[mpl]

XXX OPM - Final - 1° Dia - 23.03.2012 - Categoria Júnior - 6°/7° anos, Duração: 2 horas, Questão 1:16 pontos, Questões 2 e 3: 7 pontos cada

1. (a) В минувшие выходные João был в гостях у друга Jaime, который живет в другом городе. Связь между этими двумя городами осуществляется по железной дороге и в пути поезд проводит 4 часа и 50 минут. Из каждого города навстречу друг другу отправляются поезда по одному и тому же пути, одновременно, каждый час и движутся они с одинаковой скоростью. Поезд João отправился в путь в 10 часов утра, в это же время из другого города отправился поезд ему навстречу. Сколько поездов встретил João во время поездки?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

(b) Jaime расположил 10 солдатиков так, как это показано на рисунке. Он предложил трех солдатиков João при условии, что João возьмет трех солдатиков стоящих на одной прямой. Сколькими способами может João взять трех солдатиков?



A) 6 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

(c) Мать Jaime, чтобы отметить приезд João, испекла квадратный пирог и пригласила всю свою семью на ленч. Какое наименьшее число разрезов параллельно сторонам пирога нужно сделать для того, чтобы получить 55 одинаковых кусков, которых хватило бы на угощение всех желающих?

A) 13 B) 15 C) 17 D) 26 E) 51

(d) Jaime любит решать математические задачи и,перед тем как попрощаться с João, он задал ему такой вопрос: Пять квадратов со сторонами 10, 8, 6, 4 и 2 сантиметра расположены так, как показано на рисунке. Чему равна, в квадратных сантиметрах, площадь закрашенной синим фигуры?


A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100

2. На квадратном листе фольги со стороной 10 сантиметров Antonio нарисовал развертку куба. Чему равна площадь неиспользованной части фольги?



3. Пятизначное число abcde назовем горой если его цифры удовлетворяют условию a < b < c > d > e. Число 68987 является горой. Сколько существует гор больших чем эта?

XXX OPM - Final - 2° Dia - 24.03.2012 - Categoria Júnior - 6°/7° anos, Duração: 2 horas, Questão 1:16 pontos, Questões 2 e 3: 7 pontos cada

4. В школе чисел шум и гам. Стартовала Олимпиада по математике 2012!

(a) Начался шахматный турнир, в каждой игре принимают участие ученики различных параллелей. Записались для участия в турнире 7 учеников пятых классов, 4 ученика шестых классов и 5 учеников седьмых. Сколькими способами они могут выбрать участников первой игры?

A) 48 B) 55 C) 63 D) 83 E) 140

(b) Чемпионат по устным вычислениям. Игрок должен получить некоторое число складывая числа написанные на карточках, которые лежат в коробке. Когда выступал João, то в коробке было много повторяющихся карточек но только с числами 5, 8, 13. João проиграл, так как было невозможно получить заданное число. Какое это было число?

A) 51 B) 52 C) 53 D) 54 E) 55

(c) В чемпионате выбора каждый игрок получает карту на которой отмечены три белые вершины на шахматной доске с длиной стороны квадрата равной 1 см. Игрок должен максимально быстро выбрать четвертую вершину так, чтобы площадь получившегося четырехугольника была максимальной. Joaquim получил показанную на рисунке карту и первым дал правильный ответ. Чему равна, в квадратных сантиметрах, площадь указанного Joaquim четырехугольника?


A) 7, 5 B) 8 C) 8, 5 D) 9 E) 9, 5

(d) Каждый год эмблема Олимпиады составляется из пяти колец зеленого и синего цвета. Синих колец должно быть больше чем зеленых. Эмблема этого года представлена на рисунке. До этого года эмблемы не повторялись, но в следующем года повторения избежать не удастся. В каком году начали проводить Математические Олимпиады?

A)1981 B)1983 C)1991 D)1997 E)2000

5. Dinis взял коробку зубочисток имеющих одну и ту же длину и построил шестиугольники со сторонами равными 1 и 2 так, как это показано на рисунке. Сколько зубочисток нужно будет использовать для построения шестиугольника со стороной равной 9?



6. У Isabel есть синий и красный листы бумаги. Она хочет написать числа от 1 до 12 на этих листках так, чтобы каждое число было записано только на одном листе. Кроме того, сумма двух различных чисел уже написанных на листе, если она принадлежит этому диапазону, должна быть написана на этом же листе. Сколькими способами может Isabel записать числа?

[mpl]

XXX OPM - Final - 1° Dia - 23.03.2012 - Categoria A - 8°/9° anos, Duração: 3 horas, Questão 1:16 pontos, Questões 2 e 3: 7 pontos cada

1. (a) В шести пакетах было 18, 19, 21, 23, 25 и 34 конфет соответственно. В пяти пакета были фруктовые конфеты, в одном - шоколадные. Antonio взял себе три пакета, Domingos - два, остался один пакет с шоколадными конфетами. Antonio заметил, что у него конфет в два раза больше, чем у Domingo. Сколько было шоколадных конфет?

A)18 B)19 C) 21 D) 23 E) 34

(b) Сколько натуральных чисел от 1 до 2012 не делятся на 3 или 7?

A) 957 B)960 C) 1055 D)1150 E)1725

(c) Цифровой дисплей состоит из семи сегментов, каждый из которых может быть включен или выключен. Antonio и Domingos сидят друг напротив друга за столом, на котором лежит цифровой дисплей. Antonio включил два сегмента (см. второй рисунок) и заметил, что он и Domingos видят одну и ту же фигуру. После этого Domingos включил три сегмента (см. третий рисунок) и заметил, что теперь они видят не одно и то же. Сколько фигур может показать Domingos таких, чтобы они выглядели одинаково для него и для Antonio ?


A) 4 B) 5 C) 10 D) 16 E) 20

(d) У Antonio есть электромобиль оснащенный измерителем пройденного пути. Пройденное расстояние показывается с помощью четырех вращающихся дисков. На каждом диске должны находиться цифры от 0 до 9, но у измерителя на электромобиле Antonio есть дефект. На всех дисках отсутствует цифра четыре, т.е. когда электромобиль проезжает 4 метра дисплей показывает 0005. Дисплей показывает 2012. Какое расстояние проехал электромобиль?

A)505 B)543 C)1469 D)1507 E)1811

2. Семь одинаковых спичек образуют фигуру показанную на рисунке



Определите величину угла A.

3. Пятизначное число abcde назовем горной грядой если его цифры удовлетворяют условию a < b > c < d > e. Число 37452 является горной грядой. Сколько всего таких чисел.

XXX OPM - Final - 2° Dia - 24.03.2012 - Categoria A - 8°/9° anos, Duração: 3 horas, Cada questão vale 10 pontos

4. На столе лежат пронумерованные карточки. Abel выбрал пять карточек, на которых нанесены последовательные целые числа меньшие ста, а Beatriz выбрала четыре карточки, на которых нанесены последовательные целые числа большие ста. Они заметили, что сумма чисел на пяти карточках Abel равна сумме чисел на четырех карточках Beatriz. Сколькими способами они могут выбрать свои карточки?

5. Дан треугольник [ABC] и точка P принадлежащая отрезку [AB]. `bar{AP} = 4 bar{PB}`. Срединный перпендикуляр отрезка [PB] пересекает сторону [BC] в точке Q. Найти `bar{BC}` если площадь [PQC] равна 4, площадь [ABC] равна 25 и `bar{AC} = l`.

6. У Isabella есть синий, красный и желтый листы бумаги. Она хочет записать натуральные числа от 1 до 2012 на этих листках. Каждое число может быть записано только на одном листе. Сумма двух различных чисел уже записанных на листе записывается на нем же, если она меньше 2013. Сколькими способами может Isabella записать числа?

[mpl]

XXX OPM, Final, 1 Dia, Categoria B, 10/12 anos, 23.03.2012, Duração: 3 horas, Cada questão vale 10 pontos

1. Пятизначное число abcde назовем горной грядой если его цифры удовлетворяют условию a < b > c < d > e. Число 37452 является горной грядой. Сколько всего таких чисел.

2. В треугольнике [ABC] биссектриса угла BAC пересекает отрезок [BC] в точке D, треугольник [ADC] - равнобедренный с основанием [AC]. Найти наименьший возможный периметр треугольника [ABC] если длины сторон треугольников [ABC] и [ADC] - целые.


3. Helena и Louis играют в игру с двумя сумками шариков. Они ходят по очереди выполняя одно из указанных перемещений:
• взять шарик из одной сумки;
• взять по шарику из каждой сумки;
• переместить шарик из одной сумки в другую.
Выигрывает тот, кто заберет последний шарик из сумок.
Перед началом игры Helena пересчитала шарики в сумках и сказала Louis "Можешь начинать!", думая при этом "Я выиграю!!!".
Каким может быть распределение шариков в сумках?

XXX OPM, Final, 2 Dia, Categoria B, 10/12 anos, 24.03.2012, Duração: 3 horas, Cada questão vale 10 pontos

4. Определить количество целых чисел в диапазоне от 1 до 1000, которые делятся на целую часть своего кубического корня.

5. На продолжении сторон [AC] и [BC] треугольника [ABC] выбраны E и F. [ACFG] и [BCED] - ромбы, H - точка пересечения AC и BG, I - точка пересечения BC и AD, J - точка пересечения AI и BH. Докажите, что [JICH] и [ABJ] имеют равные площади.



6. Isabella имеет n листов бумаги. На них она хочет записать натуральные числа, помещая каждое число только на один лист. Кроме этого, если на листе записаны два числа, то их сумма должна быть записана на этом же листе. Определить какое наибольшее число может быть изолированно на отдельном листе бумаги.

[VEk]

Спасибо!

[к.черный]

Спасибо, очень интересно!

[Дилетант]

mpl, спасибо!
Представляю, чего стоило перевести это с португальского.
А вообще, очень приятное впечатление от задач с картинками)))
С душой сделано.

[Дилетант]

Решила три штуки из первого коммента.
Легкие.

[mpl]

Представляю, чего стоило перевести это с португальского.

Это легко. Берете оригинал

O João, no fim de semana passado, foi visitar o seu amigo Jaime que vive noutra cidade. A ligação entre as duas cidades é feita de comboio e a viagem dura 4 horas e 50 minutos. De cada uma das cidades partem comboios de hora a hora, não ha outros comboios a circular e todos circulam a mesma velocidade. O João saiu no comboio das 10 h quando na outra cidade também estava a sair um comboio. Por quantos comboios é que o comboio do João passou durante a sua viagem?

и просите онлайн переводчика сделать его работу. Результат показываете в комментарии.

А вообще, очень приятное впечатление от задач с картинками)))

Любят они задачи с картинками

[Дилетант]

и просите онлайн переводчика сделать его работу. Результат показываете в комментарии.

Джон, в минувшие выходные, был в гостях у друга Хайме, который живет в другом городе.Связь между этими двумя городами осуществляется по железной дороге и в пути 4 часа и 50 минут. В каждом городе есть поезда каждый час, нет другого поезда будут ходить и распространять все с той же скоростью.Джон вышел из поезда на 10 часов утра, когда другой город и оставить в поезде. Сколько же поезда на поезд из Джон провел во время Вашей поездки?

Красота!

[mpl]

translate.ru

John, last weekend, went to visit his friendly Jaime who lives in another city. The connection between two cities is done from train and the hard travel 4 hours and 50 minutes. From each one of the cities trains leave of hour to hour, there are no other trains the circular and they all circulate the same speed. John left in the train of 10 h when in another city also a train was going out. By how many trains did the train of John pass during his travel?

translate.eu

Джон, на выходных, посещал его друг Джеймс, который живет в другом городе. Связь между двумя городами делается на поезде и поездка занимает 50 минут и 4: 0. Каждого из городов поезда отправляются каждый час, не га другие поезда распространять и распространить все же скорость. Иоанн оставил в поезде, когда 10: 0 в другом городе было также оставить на поезд. Количество поездов является, что поезд от Иоанна провел во время путешествия?

[Дилетант]

ыыы....

Гугл-переводчик еще, оказывается, еще на высоте!

[Гость]

XII ONM - Categoria B (10, 11, 12 anos) Final Nacional 1994

1. Найти наименьшее натуральное число, которое имеет ровно 1994 делителя.
обсуждение

2. На стороне `AB` квадрата `ABCD` выбрана точка `E`, которая на совпадает с `A` и `B`. На стороне BC выбрали точку F так, что `/_AED = /_DEF`. Докажите, что `EF = AE + FC`.
обсуждение

3. Докажите, что число

$\underbrace{11 ... 11}_{2n} - \underbrace{22 ... 22}_{n}$

при любом `n in NN` является полным квадратом.
обсуждение

4. До сегодняшнего дня, в каждом Финале Олимпиады по математике, ни один участник не смог решить все задачи Финала, но каждая задача была решена, по крайней мере, одним участником.
Докажите, что в каждом Финале, найдётся пара участников - А и В, которые решили задачи `P_A` и `P_B` соответственно, но соответственно не решили задания `P_B` и `P_A` .
обсуждение

5. Рассмотрим окружность `C` с центром `O` и точку `Q` внутри окружности, не совпадающую с центром. Найти точку `P in C`, для которой `/_OPQ` принимает максимальное значение.
обсуждение

6. У короля Артура должна состояться битва с драконом о трёх головах и трёх хвостах. У короля имеется волшебный меч, который за один удар мог сделать одну (и только одну) из следующих вещей:
• срубить одну голову;
• срубить две головы;
• отрубить хвост;
• отрубить два хвоста.
Фея Моргана открыла королю Артуру секрет дракона:
• если срубить одну голову, то вырастает новая;
• если срубить две головы, то ничего не происходит;
• вместо отрубленного хвоста вырастают два новых;
• при отрубании двух хвостов вырастает новая голова;
• дракон умирает, если вы отрубите все три головы и три хвоста.
Сколько ударов необходимо, чтобы убить дракона?
обсуждение

---

All_ex

[Гость]

XIII ONM - Categoria B (10°, 11° e 12° anos) Final Nacional 1995

1. Зелёненький кузнечик прыгнул первый раз на 1 метр, второй - на два метра, третий - на 4 метра, ..., в n-ый раз на 2^{n-1} метров. Сможет ли кузнечик, выбирая (меняя) направление прыжков, вернуться в исходную точку?

2. Через информатора полиция узнала место встречи группы злодеев, однако, личности различных членов в группе неизвестны. Задача майора Пронина арестовать руководителя группы. Майор знает, что на встрече будет пять злодеев различного роста, и что руководитель группы является самым низким из них. После встречи, злодеи - в качестве меры предосторожности – решили покидать здание поодиночке с интервалом в 15 минут. Так как майор не знает кто из злодеев самый низкий, то решает пропустить первых двух злодеев, после чего арестовать первого, который будет ниже, чем вышедшие до него. Какова вероятность того, что майор Пронин арестует руководителя?
обсуждение

3. Три муравья находятся в трёх вершинах прямоугольника.
Во время движения одного муравья два других находятся на месте. При этом муравей движется параллельно линии, определяемой парой неподвижных муравьёв. Могут ли муравьи переместиться в середины трёх сторон прямоугольника?
обсуждение

4. `AC`- диаметр окружности, разделён точками `P`, `M` и `Q` на четыре равные части. Хорда `BD` проходит через точку `P`, причём `DP = 3/2 AP`. Найти площадь четырехугольника `ABCD`, если треугольника `ADP` равна `1 cm^2`.

обсуждение

5. Роза Ветров, Аврора Утренней Зари и Северное Сияние организовали в минувшие выходные между собой турнир, состоящий из нескольких соревнований по легкой атлетике. По результатам каждого соревнования присуждались очки `x > y > z`(`x, y, z in NN`) за первое, второе и третье место, соответственно. В итоге, сложив баллы за каждое соревнование, получилось, что у Розы Ветров 22 балла, у Авроры Утренней Зари и у Северного Сияния по 9 баллов. Сколько было различных соревнований, и кто занял второе место в прыжках в высоту, если Северное Сияние выиграла стометровку, и все приняли участие во всех соревнованиях?
обсуждение

6. Докажите, что `x` является рациональным числом тогда и только тогда, когда а последовательности `{x, x+1, x+2, x+3, ..., x+n, ...}` содержится не менее трёх членов в геометрической прогрессии.
обсуждение

---

All_ex, mpl

[Гость]

XIV ONM - Categoria B (10*, 11*, 12* anos) Final Nacional 1996

1. Рассмотрим квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника `ABC` (прямой угол `B`). Покажите, что отрезок, соединяющий вершину `B` с центром квадрата составляет углы 45° с обоими катетами треугольника.
обсуждение

2. Докажите, что если даны три положительных числа, из них можно выбрать два, обозначим их x и y, (x > y) такие, что:
`(x - y) / (1 + xy) < 1`.
Докажите также, что если число 1 в правой части приведенного выше неравенства заменить на меньшее, сколь угодно близкое к единице, то предыдущее утверждение неверно.
обсуждение

3. Коробка содержит 900 карт, пронумерованных от 100 до 999. Павел вынимает карты из коробки случайным образом и вычисляет для каждой карты сумму написанных на ней цифр. Сколько карт нужно вытащить Павлу, чтобы быть уверенным, что среди них найдется хотя бы три карты с одинаковой суммой цифр?
обсуждение

4. Вы не находите странным, что некоторые "почти равные" числа записываются абсолютно по-разному? Например, в десятичной системе счисления числа `29` и `30` отличаются всего на единицу, но их запись не содержит ни одной общей цифры.
Во избежание такой ситуации код АЛФАВИТ предлагает запись чисел последовательностью нулей и единиц:
Десятичная система счисления: `|0|1|2|3|4|5|6|7|8`
АЛФАВИТ: `| 0 | 1 | 11 | 10 | 110 | 111 | 101 | 100 | 1100`
Правило построения следующего числа в коде АЛФАВИТ таково: в предыдущем числе нужно изменить крайний правый символ, если это возможно, если нет — приписать слева единицу.
(a) Какому числу в десятичной системе счисления соответствует запись в АЛФАВИТе `111111`?
(b) Какое число следует за ним в этом коде?
(c) Опишите алгоритм, рассчитывающий для каждого числа в коде АЛФАВИТ число, следующее за ним.
обсуждение

5. Дан прямоугольный треугольник, катеты которого имеют длину 1 см. Пусть каждая точка треугольника раскрашена в один из следующих цветов: коричневый, синий, зеленый и оранжевый. Докажите, что каким бы образом ни была произведена раскраска, найдется хотя бы пара точек одного цвета, удаленных друг от друга на расстояние, большее или равное `2 - sqrt(2)`.
обсуждение

6. В правильном многоугольнике со 134 сторонами проведено 67 диагоналей, так, что из каждой вершины выходит ровно одна диагональ. Назовем длиной диагонали количество сторон многоугольника, заключенных между вершинами, которые она соединяет, не превосходящее 67.
Если длины диагоналей расположить в порядке возрастания, получится последовательность из 67 чисел `(d_1, d_2,..., d_67)`.
Можно ли сделать так, что:
(a) $(d_1,...,d_{67}) =(\underbrace{2,...,2}_{6},\underbrace{3,...,3}_{61})$?
(b) $(d_1 ,...,d_{67}) = (\underbrace{3,..., 3}_{8}, \underbrace{6,..., 6}_{55}, \underbrace{8,..., 8}_{4})$ ?
обсуждение

---

Дилетант

[wpoms.]

XV ONM - Categoria B (10*, 11*, 12* anos) Final Nacional 1997

1. Тест состоит из двадцати вопросов. За каждый правильный ответ начисляют семь очков, за каждый неправильный вычитают два очка, и ничего не начисляют за отсутствие ответа на вопрос. На сколько вопросов не даст ответ Незнайка, если за тест он получил 87 баллов?
обсуждение

2. Рассмотрим куб `ABCDEFGH` и обозначим середины рёбер `AB` и `CD` как `M` и `N` соответственно. Пусть `P` –точка, лежит на прямой `AE`, а точка `Q` является пересечением прямых `PM` и `BF`. Докажите, что треугольник `PQN` равнобедренный.

обсуждение

3. В стране Лимонии есть двадцать городов. Между городами совершают авиарейсы самолёты двух авиационных компании – «Красные соколы» и «Голубая стрела». Об имеющихся авиарейсах известно, что:
• для любых двух городов, одна и только одна из двух компаний имеет прямые рейсы (в обоих направлениях и без остановок) между двумя городами.
Кроме того:
• есть два города А и В, между которыми пассажир не может летать (с возможными пересадками), используя только самолеты авиакомпании «Красные соколы».
Докажите, что для любых двух городов Лимонии, существует маршрут движения, по которому пассажир может путешествовать, используя только самолеты авиакомпании «Голубая стрела», и сделав не более одной остановки в каком-нибудь третьем городе.
обсуждение

4.

Додо был странной птицей, и поскольку он уже вымер, то можно только гадать об их образе жизни. Одна из самых интересных гипотез связана с тем, как Додо передвигался. Видимо, взрослая особь двигалось только скачками, которые могли быть двух типов:
Тип I: скачок на один метр на восток и три метра на север;
Тип II: скачок на два метра на запад и четыре метра на юг.
а) Доказать, что Додо смог бы достичь точки, расположенной в девятнадцати метрах к востоку и девяносто пяти метрах к северу от начальной. Какое количество прыжков каждого типа потребуется для такого перемещения?
б) Показать, что Додо не смог бы достичь точки, расположенной в восемнадцати метрах к востоку и девяносто пяти метрах к северу от начальной.
обсуждение

5. Сельхозугодия имеют форму квадрата со стороной 12 ед. Внутри имеется источник воды, который наполняет систему орошения, состоящую из нескольких каналов, образующих ломаную. Будем рассматривать источник воды как точку, в каждый канал как отрезок прямой.
Известно, что точка сельхозугодий может орошаться, если она расположена на расстоянии не более 1 ед. от канала, и то, что система может оросить любую точку сельхозугодий. Докажите, что общая протяженность оросительных каналов превышает 70 ед.
обсуждение

6. В аэропорту для обозначения зала ожидания проведены `n` параллельных линий длины `a_1 <= a_2 <= a_3 <= ... <= a_n`. Однако архитектор решил, что все линии должны иметь одинаковую длину. Известно, что стоимость метра продления линий (дополнительной покраски) равна стоимости уменьшения длины (стирания лишней покраски). Какую длину должны иметь линии для того, чтобы свести к минимуму затраты на переделку?
обсуждение

---

All_ex, mpl

[wpoms.]

XVI ONM - Categoria B (10o, 11o, 12o anos) Final Nacional 1998

1. Забывчивый фермер хочет вспомнить, каковы были цены на цыплят в прошлом году. Он нашел потрепанный счет, на котором смог прочесть: "72 цыпленка проданы за *679* рублей" (первая и последняя цифры были нечитаемы).
По какой цене продавались цыплята в прошлом году?
обсуждение

2. На рисунке представлен правильный восьмиугольник, вписанный в окружность радиуса 1. `P` — произвольная точка окружности:

Вычислите значение выражения: `PA^2 + PB^2 + ... + PH^2`.
обсуждение

3. Может ли множество `{1, 2, 3,..., 3000}` содержать подмножество из `2000` элементов, таких, что ни один из них не является удвоенным значением другого?
обсуждение

4. Каково наибольшее целое число, меньшее или равное `(3^31+2^31)/(3^29 + 2^29)`?
обсуждение

5. На окружности выбраны точки `A, B, D`, так что длины дуг `AB` и `BD` равны (см. рисунок). На дуге `BD` выбрана точка `C`. Точка `M` является основанием перпендикуляра, опущенного из `B` на отрезок `AC`.

Докажите, что длина отрезка `AM` равна сумме длин отрезков `CD` и `CM`.
обсуждение

6. Пусть `a_0` — положительное вещественное число. Рассмотрим последовательность с общим членом `a_n`, заданным формулой: `a_n = a_{n-1} + 1/a_{n-1}, \ \ n = 1,2,3,...`. Докажите, что `a_1998 > 63`.
обсуждение

---

Дилетант, All_ex

[wpoms.]

XVII ONM - Categoria B (10*, 11*, 12* anos) Final Nacional 1999

1. Назовём число сбалансированным, если одна из цифр является средним арифметическим других. Сколько существует сбалансированных трёхзначных чисел?
обсуждение

2. Сколько существует натуральных чисел `n` таких, что `(2*n^2 + 4*n + 18)/(3*n+3)` является целым числом?
обсуждение

3. Две параллельные хорды окружности, длины которых 10 мм и 14 мм, удалены друг от друга на расстоянии 6 мм. Найдите длину хорды, равноудалённой от двух данных.
обсуждение

4. Если число возвести в квадрат и к сумме цифр полученного числа добавить 1, то получится следующее число. Если начинать с числа `7`, то `2^7 = 49`, следовательно, получим следующее число `(4 +9) + 1 = 14`. Найти число, получаемое через 1999 шагов.
обсуждение

5. Каждое из чисел `a_1, ..., a_n` равно `1` или `-1`. Докажите, что, если `a_1*a_2 + a_2*a_3 + ... + a_ {n-1}*a_n + a_n*a_1 = 0`, то `n` делится на четыре.
обсуждение

6. В треугольнике `ABC` точка `D` является серединой `AB`, а точка `E` делит сторону `BC` так, что `2*CE = EB`. Найти `/_BAC`, если `/_BAE = /_ADC`
обсуждение

---

All_ex, mpl

[wpoms.]

XVIII OPM - Categoria B (10*, 11*, 12* anos) Final Nacional 2000

1. Рассмотрим таблицу `3 times 3`, в которой изначально все клетки содержат нули:

Числа таблицы изменяют при помощи следующей операции: выбирают квадрат `2 times 2`, образованный соседними клетками, и добавляет единицу ко всем имеющимся числам в этих клетках.
Заполните пропуски в следующей таблице, зная, что она была получена с помощью некоторой последовательности описанных операций.

обсуждение

2. Хорда `CD` перпендикулярна к диаметру `AB` и пересекает его в точке `H` (см. рисунок). Длина отрезка `AB`является натуральным двухзначным числом, таким что, если поменять порядок цифр, то получим длину отрезка `CD`. Найти длину `AB`, если длина отрезка `OH` является рациональным числом.

обсуждение

Решение

Проведем CF || AB, и соединим точки F и D. В силу перпендикулярности хорд AB и CD хорда FD является диаметром окружности и |FD|=|AB|. В треугольнике DCF отрезок ОН является средней линией, и, по теореме Пифагора, `|OH|=1/2*sqrt(|CF|^2- |CD|^2)`.
Пусть длина |AB| записывается `bar(xy)`, где `x,y in {1,2,...,9}`. Тогда имеем `|OH|=1/2*sqrt((10x+y)^2-(10y+x)^2)=1/2*sqrt(99(x-y)(x+y))=3/2*sqrt(11(x-y)(x+y))`.
Так как `sqrt(a)` является рациональным числом тогда и только тогда, когда `a` является квадратом некоторого числа, получаем, что `11(x-y)(x+y)` - квадрат некоторого целого числа.
В силу ограничения на значений `x` и `y` имеем: `x+y=11`,`x-y`- квадрат некоторого числа. Перебирая возможные пары чисел, дающих в сумме 11, получаем, что условию на `x-y` удовлетворяет только пара `{6;5}`. Поэтому `|AB|=65`,`|CD|=56`.

3. Для каждого натурального `n` найдите наибольшее положительное число `k` такое, что `2^k` является делителем `3^n + 1`.
обсуждение

4. Вычислить сумму всех чисел, в записи которых ровно один раз используется каждая нечётная цифра, то есть `13579 + 13597 + ... + 97531`.
обсуждение

5. Треугольники `ABC` и `CED` - прямоугольные, `/_ABC = /_CED = 90^o`(см. рисунок). Найдите `CD`, если `EB = 1/2`, `EC = 1` и `AD = 1`.

обсуждение

6. В турнире участвуют `n` игроков. Каждый игрок играет друг с другом только один раз, при этом ничьих не бывает.
Игрок `A` считается чемпионом, если для любого игрока `B` верно одно из двух следующих утверждений:
(1) `A` выиграл у `B`;
(2) `A` выиграл у игрока `C`, который в свою очередь выиграл у игрока `B`.
Покажите, что в таком турнире не может быть ровно двух чемпионов.
обсуждение

---

All_ex

[wpoms.]

XIX OPM - Categoria B (10°, 11°, 12° anos) Final Nacional 2001

1. Семеро друзей собираются играть в игру "Глория". Для этого им нужно сформировать четыре команды, которые, очевидно, не могут иметь равное число игроков. Сколькими способами они могут образовать эти команды? (Порядок игроков внутри команды неважен, но каждый человек может принадлежать только одной команде).

обсуждение

2. В трапеции `ABCD` основания `AB` и `CD` (большее основание `AB`). Зная, что `BC = 2 DA` и сумма углов `DAB` и `ABC` равна `120^o`, найдите угол `DAB`.
обсуждение

3. Сколько последовательных нулей содержится в конце числа `2001! = 2001 * 2000 * ... * 3 * 2 * 1`?
обсуждение

4. В шахматной партии возникла позиция, в которой в каждой строке и в каждом столбце доски находится нечетное число фигур.
Докажите, что число фигур, стоящих в черных квадратах, четно. (Примечание: шахматная доска имеет восемь строк и восемь столбцов).

обсуждение

5. На столе стоит конус (на своем основании) и лежат шесть равных шаров, касающихся конуса. Кроме того, каждый шар касается обоих шаров, смежных с ним. Зная, что радиус основания конуса `R` равен половине его высоты, определите радиус `r` шаров.
обсуждение

6. Пусть `n` — натуральное число. Покажите, что существует число, кратное `n`, состоящее только из цифр `0` и `1`.
обсуждение

---

Дилетант, mpl

[wpoms.]

XX OPM - Categoria B (10°, 11°, 12° anos) Final Nacional 2002

1. Пароль, который Ana Viso поставила на свой компьютер, состоит из семи букв ее имени: A, N, A, V, I, S, O. Если упорядочить все слова, получаемые из данных семи символов, в алфавитном порядке, пароль, который выбрала Ana будет стоять на 881-м месте. Что это за пароль?
обсуждение

2. Рассмотрим пять сфер радиуса 10 см. Расположим четыре из них на горизонтальном столе так, чтобы их центры образовали квадрат со стороной 20 см и положим на них сверху пятую сферу, чтобы она касалась четырех остальных. Каково расстояние от центра этой пятой сферы до стола?
обсуждение

3. Даниэль раскрасил прямоугольник `2 xx 4` метра в четыре цвета. Зная, что углы прямоугольника раскрашены более чем двумя цветами, докажите, что найдутся точки одного цвета, удаленные друг от друга не менее, чем на `sqrt(5)` метров.
обсуждение

4. Набор Блаблабла содержит все семизначные числа, в которых все цифры различны, состоящие из цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Покажите, что ни одно из чисел набора Блаблабла не делится на другое число этого набора.
обсуждение

5. Рассмотрим три квадрата, изображенные на рисунке. Докажите, что если длины сторон маленького и большого квадратов целые, то сумма площадей маленького и среднего (наклонного) квадратов есть полный квадрат.

обсуждение

6. 6 марта 2002 года в Коимбре состоялось празднование 500-летия знаменитого португальского математика Педру Нуниша.
Сегодня утром в книжный магазин "Наука и жизнь" пришло всего 10 человек. Каждый из этих людей купил по три различные книги. Кроме того, оказалось, что каждые два человека купили по экземпляру одной и той же книги.
Сегодня утром одной из самых продаваемых книг стала книга "Математические приключения" Педру Нуниша.
Какое наименьшее количество экземпляров этой книги могло быть продано?
обсуждение

---

Дилетант

[wpoms.]

XXI OPM - Final 2003 - Categoria B

1. Планета Карамель представляет собой куб с ребром 1 км. Эта планета будет обернута анти-обжорной пеной, форма которой предотвращает приближение кораблей-пожирателей на расстоянии менее чем 500 метров от планеты. Чему равен минимальный объем пены, которая должна окружать планету?
обсуждение

2. Архитектор разработал шестигранную колонну из 37 металлических труб одинаковой толщины. На рисунке показано поперечное сечение этой колонны. Можно ли построить аналогичную колонну из 2003 труб?

обсуждение

3. Ракель поставила 650 точек в круге радиуса 16 см. Докажите, что есть кольцо с внутренним радиусом 2 см и внешним радиусом 3 см, содержащем не менее 10 из этих точек.
обсуждение

4. В деревне Большие Кругляши десять домов. Все дома расположены по окружности радиуса `R` метров на одинаковом расстоянии от ближайших соседей. Каждый год на Пасху сельский священник идёт с пасхальным визитом по всем домам, как показано на рисунке 1, начиная и заканчивая маршрут в точке `A`. В этом году священник решил пройти по другому маршруту, который показан на рисунке 2. Докажите, что в этом году священник пройдёт на `10*R` метров больше.

обсуждение

5. Отец оставил в наследство трём своим сыновьям стадо из `k` овец. Наследство распределяется следующим образом: старшему причитается `[k/2]` овец, среднему - `[k/3]` овец, а младшему - `[k/5] `овец. Найти всевозможные значения `k`, если известно, что лишних овец не осталось.
Примечание: Запись `[x]` означает наибольшее целое число, которое меньше или равно `x` (пример: `[2] = 2`, `[3.14] = 3`).
обсуждение

6. Всегда ли можно из шести данных иррациональных чисел выбрать три таких, что сумма любых двух из этих трех является иррациональным числом?
обсуждение

---

All_ex, mpl

[wpoms.]

XXII OPM - Final 2004 - Categoria B

1. Господин Мануэль ухаживает за 31 курицей своего хозяина. В этом году г-н Мануэль решил взять продолжительный отпуск. Для каждой курицы он приготовил по пакету с едой на каждую неделю своего отсутствия. В начале первой недели хозяин продал одну из кур, и то же самое происходило в течение последующих недель, пока все куры не были проданы. Однако, когда г-н Мануэль вернулся, он обнаружил, что запасы еды, подготовленные им, закончились, а его отсутствие длилось вдвое больше запланированного. Сколько недель отсутствовал г-н Мануэль?
обсуждение

2. Существует ли число вида `qqpp`, являющееся полным квадратом, где `q` и `p` — цифры и `q != 0`? А число вида `qqqppp`?
обсуждение

3. На складе книжного магазина `125` коробок с книгами, ни одна из них не пуста. Всегда ли для любого целого положительного числа `n <= 125` можно выбрать несколько из `125` коробок так, что общее число книг в выбранных коробках будет кратно `n`?
обсуждение

4.На рисунке представлен равносторонний треугольник `ABC`.

Точка `D` является серединой стороны `BC` и является центром полу-окружности радиуса `R`, касающейся сторон `AB` и `AC` и окружности радиуса `r`, также касающейся сторон `AB` и `AC`. Найдите отношение `r/R`.
обсуждение

5. В танцевальной академии города Томар ставится танец, в котором 11 балерунов и 4 балерины должны танцевать по кругу. Сколькими способами можно поставить этих 15 танцоров в круг так, чтобы никакие две балерины не стояли рядом?
обсуждение

6. Адерито идет по площади Республики в городе Томаре к статуе Галдима Паиса, Великого магистра ордена Тамплиеров.

Высота статуи `h` метров, высота пьедестала `p` метров. Глаза Адерито находятся в `e`метрах от земли, причем `0 < e < p`. На каком расстоянии от пьедестала должен остановиться Адерито, чтобы статуя выглядела как можно больше?
Подсказка: Обозначьте наивысшую точку статуи через A, нижнюю точку статуи через B, а глаза Адерито через C. Предполагается, что перпендикуляр, опущенный из точки A на поверхность земли, проходит через точку B.
Статуя будет казаться наибольшей, когда угол ACB максимален.
обсуждение

---

Дилетант

[wpoms.]

XXIII OPM - Final 2005 - Categoria B

1. В очереди на концерт группы Супер Рок Поп стояло 2005 человек. Чтобы выбрать трех человек, которым выпадет честь побывать за кулисами, придумали следующую считалку. Первый человек должен сказать "Супер", второй — "Рок", третий — "Поп", четвертый — "Супер", пятый — "Рок", шестой — "Поп", и т.д. Те, кто говорят "Рок" и "Поп", выходят сразу. Считалка повторяется до тех пор, пока не останутся только три человека. Какие номера были у этих людей в исходной очереди?
обсуждение

2. Рассмотрим треугольники `ABC` и `EDC`, у которых, соответственно, углы `A` и `D` прямые (см. рисунок). Докажите, что если `E` является серединой стороны `AC`, то `AB < BD`.

обсуждение

3. На распределительном щите имеется `a` строк с выключателями по `b` выключателей в каждой (`a` строк и `b` столбцов), каждый выключатель соединен с лампочкой в одном из домов. При нажатии выключателя, соответствующего некоторому дому, вместе с лампочкой данного дома изменяют состояния лампочки домов, стоящих в одной строке и одном столбце с данной (включенные, гаснут, выключенные загораются).
Для каких величин `a` и `b` возможна ситуация, в которой после серии переключений окажется включена только одна лампочка?
обсуждение

4. Натуральное число `n` назовем обильным, если сумма его делителей превосходит `2*n`. Например, `18` обильно, потому что сумма его делителей `1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18` больше, чем `36`. Выпишите все четные числа, большие `46`, которые представимы в виде суммы двух обильных чисел.
обсуждение

5. Рассмотрим четырехугольник `ABCD`, вписанный в окружность и описанный около окружности (имеющий вписанную и описанную окружности).

Стороны `AD` и `BC` касаются вписанной окружности в точках `E` и `F` соответственно. Докажите, что `AE times FC = BF times ED`.
обсуждение

6. Докажите, что существует единственная функция, `f: NN to NN` такая, что равенство `f (a + b)f (a - b) = f (a^2)` выполняется для всех `a, b in NN`, при `a>b`.
обсуждение

---

Дилетант, mpl, All_ex

[wpoms.]

XXIV OPM - Final 2006 - Categoria B

1. Александр и Геркулес находятся на станции Campanha в ожидании поезда. Чтобы развлечь себя, они решили вычислить длину грузовых поездов, проходящих через станцию с постоянной скоростью. Когда передняя часть поезда проходит мимо них, Александр начинает идти в сторону движения поезда и Геркулес начинает идти в противоположном направлении. Они идут с одной и той же скоростью и каждый из них останавливается в тот момент, когда встречается с концом поезда. Александр прошел 45 метров и Геркулес прошел 30 метров. Чему равна длина поезда?
обсуждение

2. Дан равносторонний треугольник ABC, D - середина стороны AC, E - проекция D на сторону CB и F - середина отрезка DE. Докажите, что FB и AE взаимно перпендикулярны.

обсуждение

3. Упаковочная машина расфасовывает бобы в равных количествах по пакетам, в дальнейшем эти пакеты упаковываются в равных количествах в ящики, которые отгружаются заказчикам. Однажды упаковочная машина сломалась и оставила первые n пакетов пустыми, в следующие n пакетов она упаковала по 1 бобу, в следующие n пакетов по 2 боба и т.д., в последние n пакетов она упаковала 2006 бобов. Для обеспечения отгрузки продукции заказчикам эти пакеты были распределены по 2007 ящикам, так чтобы в каждом ящике было одинаковое количество пакетов и зерен. Для каких n это возможно сделать?
обсуждение

4. Дан параллелограмм ABCD, E - середина стороны AD и F - проекция точки B на отрезок CE. Докажите, что треугольник ABF является равнобедренным.

обсуждение

5. Найдите все натуральные числа n, такие что натуральные делители числа n составляют ровно одну пятую от натуральных чисел 1, 2, ... , n.
обсуждение

6. <На каждой карточке лотереи "Neuro-Million" написаны числа от 1 до 36. Ставка заключается в выборе 6 из этих 36 чисел. Перед началом розыгрыша выбираются 6 чисел-ключей из этих 36. Ставка выигрывает, если ни одно из отмеченных чисел не совпадает с числом-ключом. Сколько, по крайней мере, нужно сделать ставок, чтобы гарантированно выиграть?
обсуждение

---

mpl

[wpoms.]

XXV OPM - Final 2007 - Categoria B

1. У João были синие, белые и красные жемчужины. Он изготовил из двадцати жемчужин ожерелье, в котором было равное количество синих и белых жемчужин. João заметил, что вне зависимости от того, каким образом разрезать ожерелье на две части с четным количеством жемчужин, в одной из частей количество синих жемчужин будет больше количества белых. Сколько красных жемчужин в ожерелье João?
обсуждение

2. Дан треугольник `ABC` и точки `X`, `Y` и `Z` на сторонах `AB`, `BC` и `AC`, соответственно. Докажите, что окружности, описанные около треугольников `AXZ`, `BXY` и `CYZ` пересекаются в одной точке.
обсуждение

3. Найдите наибольшее целое число `n`, которое равно произведению всех натуральных чисел меньших `sqrt(n)`.
обсуждение

4. Фернанда решила украсить квадратное одеяло лентами и кнопками, располагая кнопки в центрах квадратов, через которые проходит лента, образующая показанную на рисунке фигуру. Если Фернанда разместила первую кнопку в строке с номером ноль, то в какой строке будет располагаться кнопка с номером 2007?

обсуждение

5. На улице Антонио сто домов, пронумерованных числами от единицы до ста. Любой дом, чей номер равен разности номеров домов, покрашенных в один цвет, покрашен в цвет отличный от цвета этих двух домов. Докажите, что на улице Антонио есть дома по крайне мере пяти разных цветов.
обсуждение

6. Наибольшее расстояние между домами в деревне равно `M`, а наименьшее расстояние равно `m`. Докажите, что если в деревне шесть домов, то `M/m >= sqrt(3)`.
обсуждение

---

mpl

[wpoms.]

XXVI OPM - Final 2008 - Categoria B

1. Сколько треугольников, с вершинами в точках, отмеченных на рисунке, можно нарисовать?

обсуждение

2. На рисунке изображен вписанный в окружность треугольник `ABC`. Точка `E` лежит на окружности, точка `D` лежит на луче `AE` вне круга, а угол `CAB` равен углу `BAE`. Докажите, что `AB = BD` тогда и только тогда, когда `DE = AC`.

обсуждение

3. Пусть `d` - натуральное число, а `M` и `N` - натуральные, `d`-значные числа. Скажем, что `M` является другом `N`, если при замене любой цифры числа `M` на стоящую на том же месте цифру числа `N` получается число кратное семи. Найдите все `d`, для которых верно утверждение: Для любых двух `d`-значных чисел `M` и `N`, если `M` является другом `N`, то `N` является другом `M`.
обсуждение

4. Нельсон предложил Тельме поиграть в такую игру:
Тельма стирает `2^9` чисел из множества `{0,1, 2, 3, ..., 1024}`, затем Нельсон стирает `2^8` чисел, после этого Тельма стирает `2^7` чисел и так далее пока не останутся только два числа. По завершении игры Нельсон выплачивает Тельме разницу между этими двумя числами в евро. Какую наибольшую сумму может выиграть Тельма вне зависимости от стратегии Нельсона?
обсуждение

5. Дан треугольник `ABC` с прямым углом `A` и `AB < AC`. Точка `M` - середина `BC`, а точка `D` - точка пересечения отрезка `AC` и перпендикуляра к `BC`, проходящего через `M`. Точка `E` - точка пересечения прямой, параллельной `AC` и проходящей через точку `M`, и перпендикуляра к `BD`, проходящего через `B`. Докажите, что треугольники `AEM` и `MCA` подобны тогда и только тогда, когда угол `ABC` равен шестидесяти градусам.
обсуждение

6. Пусть `n` - натуральное число, большее `2`. У Ванессы есть `n` кучек нефритовых камней с различным количеством камней в кучках. Она может распределить камни из любой кучки среди остальных и получить `n - 1` кучку с равным количеством камней. Она может распределить камни из любых двух кучек среди остальных и получить `n - 2` кучки с равным количеством камней. Определите наименьшее возможное количество камней, которое может находиться в кучке с наибольшим количеством камней?
обсуждение

---

mpl

[wpoms.]

XXVII OPM - Final 2009 - Categoria B

1. Окружность разделена на `n` равных частей. В каждой из этих частей было записано одно из чисел от `1` до `n` так, что расстояния между соседними по величине числами одинаковы. Числа `11`, `4` и `17` записаны в последовательных частях окружности. На сколько частей разделена окружность?
обсуждение

2. На сторонах `CD` и `BC` квадрата `ABCD` отмечены точки `M` и `N`, соответственно. Периметр треугольника `MCN` равен удвоенной длине стороны квадрата. Определите величину угла `MAN`.
обсуждение

3. Дуарте хочет нарисовать квадрат с длиной стороны 2009 см, разделенный на 2009 x 2009 квадратов с длиной стороны 1 см, не отрывая карандаша от бумаги. Если начинать рисунок с угла квадрата, то чему равна наименьшая длина линии, которую нужно провести для достижения намеченной цели?
обсуждение

4. João вычислил произведение ненулевых цифр каждого целого числа от 1 до 10^2009. После этого он сложил эти 10^2009 произведений. Какое число получил João?
обсуждение

5. Окружности `C_1` и `C_2` имеют разные длины радиусов и касаются в точке `T`. На окружности `C_1` берется произвольная точка `A`, а на окружности `C_2` - точка `B`, обе точки отличны от `T` и величина угла `BTA` равна `90` градусам. Что представляет собой геометрическое место середин отрезков `AB`?

обсуждение

6. Два игрока играют в следующую игру на круглой доске с 2009 домами. Игроки поочередно помещают в пустой дом одну из трех фишек, они называются исследователь (E), ловушка (A) и камень (P). Назовем сокровищем последовательность из трех домов, такую что в первом (в любом направлении) находится исследователь и в среднем не находится ловушка. Например, последовательность PAE не является сокровищем, но последовательность AEE сокровищем является.

Первый игрок, который образует сокровище выигрывает. Могут ли игроки обеспечить себе победу? И если да, то кто из них?
обсуждение

---

mpl

[wpoms.]

XXVIII OPM - Final 2010 - Categoria B

1. В часовне На костях было несколько свечей одинакового размера. В первый день зажгли на один час одну свечу. На второй день на один час зажгли две свечи, на третий день зажгли три свечи на один час, и так далее, до последнего дня, в который зажгли все свечи на один час. В конце концов, все свечи полностью сгорели. Определите все возможности для исходного числа свечей.
обсуждение

2. Точки окружности `A` и `B` принадлежат разным дугам, на которые окружность разбивается концами диаметра `CD`. Отрезки `EC` и `DF` перпендикулярны отрезку `AB`. Найдите `BF`, если `AE = 1` см.

обсуждение

3. Ежедневно более чем половина жителей города Эвора ест на десерт sericaia. Покажите, что есть группа из 10 эворийцев, таких что за последние 2010 дней каждый день по крайней мере один из них ел на десерт sericaia.
Sericá (или Sericaia) является традиционным португальским десертом из яиц, сахара, молока и корицы. Обычно подается с сахарными сливами.
обсуждение

4. Giraldo написал пять различных натуральных чисел в вершинах пятиугольника. Затем он написал на каждой стороне наименьшее общее кратное чисел, которые записаны в концах этих сторон, после чего он заметил, что все пять чисел, написанных на сторонах равны. Какое наименьшее число могло быть написано на стороне пятиугольника?
обсуждение

5. Докажите, что в любом треугольнике есть две стороны a и b, длины которых удовлетворяют неравенству `(sqrt(5)-1)/2 < a/b < (sqrt(5)+1)/2`
обсуждение

6. Докажите, что если p - простое число, то на шахматной доске размером pxp можно выбрать p клеток так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. На рисунке показан один из возможных выборов клеток для p=3.

обсуждение

---

mpl

[wpoms.]

XXIX OPM - Final 2011 - Categoria B

1. Девятизначный телефонный номер abcdefghi является легко запоминаемым если последовательность его первых четырех цифр abcd повторяется в последних пяти цифрах efghi. Сколько всего существует легко запоминаемых телефонных номеров?
ообсуждение

2. Точка `P`, расположенная внутри треугольника `ABC`, лежит на срединном перпендикуляре стороны `AB`. Точки `Q` и `R`, расположенные вне треугольника таковы, что `BPA`, `BOC` и `CRA` - подобные треугольники. Докажите, что `PQCR` является параллелограммом.

обсуждение

3. Имеются n выключенных лампочек, пронумерованных числами от `1` до `n`. С ними можно выполнять одну из следующих операций:
• изменить состояние лампочки `1`;
• изменить состояние лампочки `2`, если первая лампочка горит;
• изменить состояние лампочки с номером `k` (`k > 2`), если лампочка с номером `k-1` горит и все лампочки с номерами `1, ... , k-2` выключены.
Покажите, что возможно, после определенного количества операций, добиться того, чтобы горела только лампочка с номером `n`.
обсуждение

4. В классе, в котором учатся `14` мальчиков, провели опрос. Каждого из мальчиков попросили ответить на два вопроса: у скольких одноклассников такое же имя и у скольких одноклассников такая же фамилия. В ответ были получены числа `0, 1, 2, 3, 4, 5` и `6`. Докажите, что в классе есть два мальчика с совпадающими именем и фамилией.
обсуждение

5. Дан треугольник `ABC`, точка `D` - проекция точки `B` на биссектрису угла `ACB`, а точка `E` - проекция точки `C` на биссектрису угла `ABC`. Докажите, что `DE` пересекает стороны `AB` и `AC` в точках касания этих сторон с вписанной в треугольник `ABC` окружностью.
обсуждение

6. Число `1000` может быть записано как сумма `16` последовательных натуральных чисел: `1000 = 55 + 56 + ... + 70`. Найдите все натуральные числа, которые не могут быть записаны как сумма двух или более последовательных натуральных чисел.
обсуждение

---

mpl, Дилетант

[Гость]

Спасибо!!! 😊😊😊😀😀😀