Разноцветный треугольник

[wpoms.]

Дан прямоугольный треугольник, катеты которого имеют длину 1 см. Пусть каждая точка треугольника раскрашена в один из следующих цветов: коричневый, синий, зеленый и оранжевый. Докажите, что, каким бы образом ни была произведена раскраска, всегда найдется хотя бы одна пара точек одного цвета, которые удалены друг от друга на расстояние большее или равное `2 - sqrt(2)`.

@темы: Планиметрия

Comments

[Adjirranirr]

Предположим, что возможно раскрасить треугольник так, чтобы расстояние между любой парой одноцветных точек было меньше `2 - sqrt(2)`.
Рассмотрим треугольник с вершинами `A = (0,\ 1),\ B = (1,\ 0),\ C = (0,\ 0)`. В нем рассмотрим точки `E = (sqrt(2) - 1,\ 0),\ F = (0,\ sqrt(2) - 1)`, а так же точки `G = (sqrt(2) - 1,\ 2 - sqrt(2))` и `H = (2 - sqrt(2),\sqrt(2) - 1)`, расположенные на диагонали на расстояниях `2 - sqrt(2)` от вершин `A` и `B` соответственно.



Если две вершины четырехугольника `AFEB` имеют один цвет, то они составляют пару одноцветных точек с расстоянием не менее `2 - sqrt(2)`, что противоречит предположению; значит, все его вершины имеют разные цвета. Обозначим `\xi(\cdot)` — цвет указанной вершины. Тогда `\xi (G) != \xi (A),\ != \xi (B),\ != \xi (E)`, так как вершина `G` лежит на расстоянии, не меньшем `2 - sqrt(2)` от вершин `A,\ B,\ E`; так как четырехугольник `AFEB` разноцветный, то `\xi (G) = \xi (F)`. Аналогично, `\xi (H) = \xi (E)`, и все точки `A,\ G,\ H,\ B` имеют разные цвета. Так как точка `C` так же окрашена в один из четырех цветов, то один из отрезков `CA,\ CG,\ CH,\ CB` имеет концы одного цвета, хотя все расстояния `\|CA\|,\ \|CG\|,\ \|CH\|,\ \|CB\|` превышают `2 - sqrt(2)`, что противоречит исходному предположению.