Деревня

[wpoms.]

Наибольшее расстояние между домами в деревне равно `M`, а наименьшее расстояние равно `m`. Докажите, что если в деревне шесть домов, то `M/m >= sqrt(3)`.

@темы: Планиметрия

Comments

[Груша Вильямс]

Как понимаю, предельный случай - гексагон, в котором `m` - сторона, `M` - диаметр описанной окружности. В гексагоне `R=a`, т.е. `M/2=m`, `M/m=2`. Чтоб отношение больше было, достаточно любой дом-вершину утащить подальше. Всё-таки предельный случай не гексагон. Кажется, что `sin60^@` должен фигурировать.

[вейко]

а откуда вообще взяться ограничению на отношение М/m? что мешает М=10 а m=1?

[All_ex]

что мешает М=10 а m=1? - ничего не мешает... неравенство же верное получается... ...
Но тут, видимо, идёт речь о минимальном отношении...

[вейко]

у меня меньше 2х не выходит хм
All_ex, а точно

[All_ex]

вейко, у меня меньше 2х не выходит хм - думается мне, что предельным положением является правильный пятиугольник с домом в центре описанной окружности...
Предположим, что радиус единичный... тогда `m = 2*sin(pi/5)` - сторона ... а `M = 2*sin({2*pi}/5)` - диагональ...
Тогда `M/m = 2*cos(pi/5) >= 2*cos(pi/6) = sqrt(3)` ...

[вейко]

All_ex, неа диагональ к радиусу не корень из 3

[All_ex]

диагональ к радиусу - мдя ... ошибочка ...