Про параллелограмм

[wpoms.]

Точка `P`, расположенная внутри треугольника `ABC`, лежит на срединном перпендикуляре стороны `AB`. Точки `Q` и `R`, расположенные вне треугольника таковы, что `BPA`, `BOC` и `CRA` - подобные треугольники. Докажите, что `PQCR` является параллелограммом.

@темы: Планиметрия

Comments

[Alidoro]

Такие задачи удобно решать, расположив чертеж на комплексной плоскости. Обозначим соответствующими буквами комплексные координаты точек. Тогда условие подобия запишется как
`(B-P)/(A-P)=(B-Q)/(C-Q)=(C-R)/(A-R)`
Наша следующая цель выразить `B` из первого равенства и подставить во второе.
`(B-P)(C-Q)=(B-Q)(A-P);`
`B((C-Q)-(A-P))=PC-PQ-AQ+PQ=PC-AQ;`
`B=(PC-AQ)/(C-Q-A+P).` Выразили. Теперь подставляем:
`(B-Q)(A-R)=(C-Q)(C-R);`
`((PC-AQ)/(C-Q-A+P)-Q)(A-R)=(C-Q)(C-R);`
`(PC-AQ-QC+Q^2+AQ-PQ)(A-R)=(C-Q)(C-R)(C-Q-A+P);`
`(PC-QC+Q^2-PQ)(A-R)=(C-Q)(C-R)(C-Q-A+P);`
`(P-Q)(C-Q)(A-R)=(C-Q)(C-R)(C-Q-A+P);`
`(P-Q)(A-R)=(C-R)(C-Q-A+P);`
`AP-PR-AQ+QR=C^2-CQ-AC+CP-CR+QR+AR-PR;`
`AP-AQ+CQ-CP=C^2-AC-CR+AR;`
`(P-Q)(A-C)=(R-C)(A-C);`
`P-Q=R-C;`
Условие «лежит на срединном перпендикуляре стороны» мы не использовали.

[All_ex]

Alidoro, Условие «лежит на срединном перпендикуляре стороны» мы не использовали.
Круто...
Видимо этим условием школьникам решили облегчить жизнь при геометрических рассуждениях...

[Alidoro]

Недавно вышло второе издание книги известного автора Andreescu. Complex Numbers from A to ... Z
gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=C18BD8F162F8F...
Подробно о комплексных числах и решения на их основе геометрических задач. Много задач с олимпиад.
На русском языке была книжка подобной тематики, но не такая глубокая: Балк М.Б., Балк Г.Д., Полухин А.А. - Реальные применения мнимых чисел (1988)

[All_ex]

Alidoro, спасибо... посмотрим...