Полный квадрат

[wpoms.]

Существует ли число вида `qqpp`, являющееся полным квадратом, где `q` и `p` — цифры и `q != 0`? А число вида `qqqppp`?

@темы: Теория чисел

Comments

[vyv2]

7744=88^2
Число `qqqppp` не яыляется полным квадратом, т.к. `p+q`должно делиться на 111.

[к.черный]

Разверну немножко
1) `bar(qqpp)=11*bar(q0p)`
`bar(q0p)=11t^2`
Если число `bar(q0p)` делится на 11, то `q+p=11`, а частное от деления - двузначное число, сумма цифр которого равна 10, и при этом является квадратом натурального числа. Такое число только одно - 64, тогда `q=7`, `p=4`
`7744=88^2`

2) `bar(qqqppp)=111*bar(q00p)`
Чтобы условие задачи выполнилось, необходимо, чтобы число `bar(q00p)` делилось на 111.
Признак делимости на 111: при разбивании числа на группы по три цифры, начиная с единиц, сумма этих групп делится на 111.
Тогда `q+p` должно делиться на 111, а не может!