Квадраты

[wpoms.]

Рассмотрим три квадрата, изображенные на рисунке. Докажите, что если длины сторон маленького и большого квадратов целые, то сумма площадей маленького и среднего (наклонного) квадратов есть полный квадрат.

@темы: Планиметрия

Comments

[Alidoro]

Не могу в это поверить. Пусть так. А если мы повернем средний квадрат чуть-чуть по часовой стрелке. Квадрат, естественно, придется чуть-чуть уменьшить. Но после этого сумма площадей не просто не будет полным квадратом. Она не будет даже целым числом. Может быть, чего то в задаче не хватает?

[All_ex]

Alidoro, А если мы повернем средний квадрат чуть-чуть по часовой стрелке. Квадрат, естественно, придется чуть-чуть уменьшить. - Тогда и сторона мелкого квадрата изменится...

...

Если `b` - сторона большого квадрата, `x, y` - стороны прямоугольного треугольника, то сторона маленького квадрата равна `a = {x*y}/{x + y} = {x*y}/b`...
Квадрат площади среднего квадрата равен `x^2 + y^2 = b^2 - 2*x*y`, тогда сумма квадратов площадей среднего и маленького квадрата равна `b^2 - 2*x*y + ({x*y}/b)^2 = (b - {x*y}/b)^2 = (b - a)^2`...

[Alidoro]

Разобрался. Поворот конечно же делается при фиксированной стороне маленького квадрата. Но при этом, как оказалось, сторона среднего квадрата не меняется.

[vyv2]