Последовательность

[wpoms.]

Докажите, что `x` является рациональным числом тогда и только тогда, когда в последовательности `{x, x+1, x+2, x+3, ..., x+n, ...}` содержится не менее трёх членов геометрической прогрессии.

@темы: Прогрессии, Теория чисел

Comments

[Adjirranirr]

Пусть `x \in QQ,\ x = p/q,\ \text{gcd}(p,\ q) = 1`. Тогда `p/q + p = \frac {p(q + 1)}{q},\ p/q + p (q + 2) = \frac {p (q + 1)^2} {q}, p/q + p (q^2 + 3q + 3) = \frac {p (q + 1)^3} {q},\ ...` и последовательность `{x + n}_{n = 0}^{oo}` содержит бесконечную геометрическую прогрессию, в частности, в ней содержится любое необходимое количество членов геометрической прогрессии.
Контрпример к достаточности. Пусть `x = 1/2 + \sqrt(21)/2`, `q = \frac {9 + \sqrt(21)}{3 + \sqrt(21)}`. Тогда числа `x + 1`, `x + 4` и `x + 19` являются членами геометрической прогрессии со знаменателем `q` и номерами `k`, `k+1` и `k + 3` соответственно.

Если имеется ввиду «трех подряд идущих членов геометрической прогрессии»: пусть для некоторых `p,\ q,\ r \in ZZ^+` выполняется `(x + p)/(x + q) = (x + q)/(x + r)` (характеристическое свойство геометрической прогрессии). Тогда, `(x + p) (x + r) = (x + q)^2`, или `x^2 + (p+r)x + p*r = x^2 + 2q x + q^2 <=> (p + r - 2q)*x = q^2 - p * r`. Следовательно, `x = \frac {q^2 - p * r} {p + r - 2q} \in QQ`.