Школьники! Ау! (возвращается) (2)

[wpoms.]

Сколько существует натуральных чисел `n` таких, что `(2*n^2 + 4*n + 18)/(3*n+3)` является целым числом?

@темы: Теория чисел

Comments

[Adjirranirr]

Школьников что-то не видно =)

Пусть `a(n) = \frac {2n^2 + 4n + 18} {3n + 3} \in ZZ` и `a(n) = i`. Тогда, очевидно,
`a(n) - i = 0 <=> 2n^2 + (4 - 3i) n + (18 - 3i) = 0`. Так как все коэффициенты многочлена в левой части последнего неравенства целые, то, чтобы он имел ноль в целой точке, необходимо, чтобы его дискриминант был полным квадратом.
Тогда `D = 9i^2 - 128 = k^2 <=> (3i - k) (3i + k) = 2^7`.
Рассмотрим 4 случая (остальные получаются подстановкой `k -> -k`):
`3i - k = 1,\ 3i + k = 128 => 6i = 129`, невозможно;
`3i - k = 2,\ 3i + k = 64 => 6i = 66,\ i = 11`; тогда `0 = a(n) - 11 = \frac {(2n + 1)(n - 15)} {3n + 3}` и `n = 15`;
`3i - k = 4,\ 3i + k = 32 => 6i = 36,\ i = 6`; тогда `0 = a(n) - 6 = \frac {2*n*(n-7)}{3n + 3}` и `n = 7`;
`3i - k = 8,\ 3i + k = 16 => 6i = 24,\ i = 4`; тогда `0 = a(n) - 4 = \frac {(2*(n-1))*(n-3)}{3n + 3}` и `n = 1` или `n = 3`.
Таким образом, при четырех значениях `n` `a(n) \in ZZ`.