четверг, 14 ноября 2013
23:40

Прямоугольные треугольники

все записи пользователя в сообществе wpoms.
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Треугольники `ABC` и `CED` - прямоугольные, `/_ABC = /_CED = 90^o`(см. рисунок). Найдите `CD`, если `EB = 1/2`, `EC = 1` и `AD = 1`.






@темы: Планиметрия

URL
Комментарии
14.11.2013 в 23:52

sovuny
Может не угол СЕВ =90, а угол СЕD?
URL
14.11.2013 в 23:58

wpoms
Step by step ...
sovuny, спасибо :white:
URL
23.11.2013 в 05:44

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Нетрудно заметить, что `/_ ECB = /_ DEA = 30^o`...
Обозначим `/_ CAB = alpha, \ \ /_ DCE = beta`... Очевидно, что `alpha + beta = 60^o`...
Из точки `D` опустим перпендикуляр на `AB`, который обозначим `DH`....
Из `Delta ADH` находим, что `DH = sin(alpha)`...
Из `Delta CDE`, а затем из `Delta EDH` находим, что `DH = 1/2 * tg(beta)`...

Итого, получили систему `{(alpha + beta = 60^o), (2*sin(alpha) = tg(beta)):}`... Ну, вот и как её решить?... :upset: .. или я совсем не в ту сторону пошёл и чего-то простого не вижу :upset: ...
URL
23.11.2013 в 07:50

~ghost
Всем доброго времени ))
.. а я уже хотела спросить, может, "все решили - и всё легко", а я чего-то не вижу..
У меня получалось, что сразу "записывалось" уравнение относительно `t = cos(gamma)` {где `gamma = DCE` ( All_ex, у Вас в обозначениях - это `beta`)} — но оно ( ур-ие) 4-ой степени.. :shuffle2: и никаких простых "раскладываний на множители" там не видно..
читать дальше
При чем ответ должен быть (наверное) `CD = root(3) (2)` — потому что если нарисовать "честно" ( в масштабе ) в ГеоГебре - то она пишет, что отрезок `CD = 1.26`, а корень `cos(gamma) = 1/root(3)(2)` там этому уравнению подходит.. ( и потом `CD = 1/(cos(gamma))`)
URL
20.12.2013 в 03:56

Груша Вильямс
Проведём прямую `CF` параллельную прямой `DE`, пусть она пересекает прямую `AB` в точке `F`, тогда треугольники `ACF` и `ADE` подобны по трём углам, коэффициент их подобия `k = (2+y) / y = (x+1) / 1`, `2+y=xy+y`, `x=2/y`, где `x` и `y` стороны `CD` и `AE` соответственно.
URL
20.12.2013 в 11:31

~ghost
Груша Вильямс, доброго дня ))
достроили красиво =) и да, `x = 2/y` (где `CD = x` и `AE = y`) — а как теперь `AE = y` найти ? :) или я чего-то не вижу ? ..)
( можно записать теорему косинусов для треугольника `ACE` - и получить систему для переменных `x` и `y`, а потом система сводится к одному уравнению - опять 4-ой степени.. =)) или можно сделать что-то еще ?..
URL
20.12.2013 в 11:33

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, коэффициент их подобия `k = (2+y) / y = (x+1) / 1` - а откуда следует, что `EF = 2`? ... :upset:
URL
20.12.2013 в 11:45

~ghost
All_ex, не-а :) там всё честно - в треугольнике `AED` угол `AED = 180 - 90 - 60 = 30`, а тогда и угол `AFC = 30`, и `CE = 1` - будет "катетом против 30-и"
только я все равно не понимаю, как дальше =) у меня все равно уравнения 4-ой степени появляются.. :)
URL
20.12.2013 в 11:50

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
~ghost, это не был наезд... просто подзабылось маленько... :shuffle2:
URL
20.12.2013 в 11:53

~ghost
All_ex, да.. (извините..))) я тоже уже не так хорошо помню эту задачу.. но мне все равно кажется, что я тогда правильно "разгадала" ответ ( `CD = root(3) {2}` ) - и не представляю, как такой ответ "получить красиво"..
URL
20.12.2013 в 12:29

Груша Вильямс
All_ex, писать вычисления не хотелось) `BC=sqrt(3)/2`, `/_F=30^@`, тогда `BF=BC*ctg30^@=3/2`, `CF=sqrt(3)`.

~ghost, добрый день) Думал дальше легко посчитается, оказывается нет:
`(2+y) / y = sqrt(3) / (DE)`, `(2+y) / y = sqrt(3) / (tg(beta))`, `(2+y) / y = sqrt(3) / ( sqrt(1/(cos^2(beta))-1) )`, `(2+y) / y = sqrt(3) / ( sqrt(y^2-4)/2 )`,
`(2+y) / y = (2sqrt(3)) / sqrt(y^2-4)`, `(y^2+4y+4) / y^2 = 12 / (y^2-4)`, `y^4+4y^3-12y^2-16y-16=0`.

p.s. или через `x`
` sqrt(3) / (DE) = x+1`, а `DE = sqrt(y^2-4)/2 = sqrt(1-x^2) / x`, тогда `x*sqrt(3)=sqrt(1-x^2)*(x+1)`, `x^4+2x^3+3x^2-2x-1=0`.
URL
20.12.2013 в 12:52

~ghost
Груша Вильямс, :hmm:
я запуталась..=( если я права, что ответ должен быть `x = CD = root(3){2}`, то тогда должно быть `y = root(3){4}`
у Вас в записи вроде ошибки не вижу ( так, с первого взгляда..) - но `y = root(3){4}` уравнению вроде и не подходит..
---------------------------------
что не так - пока не поняла.. ( вечером посмотрю подробней..)
URL
20.12.2013 в 12:59

~ghost
Оуу.. (дошло, что не так..) Груша Вильямс, в треугольнике `CED` у нас `CE` - катет, и `CD` - гипотенуза.. т.е. `x = CD = 1/cos(beta)`
(т.е. `1/cos(beta) = 2/y` )
URL
20.12.2013 в 15:07

Груша Вильямс
Какая-то нерешаемая задача...
URL
20.12.2013 в 15:13

Гость
Продлите CE и проведите через A прямую, параллельную DE.
URL
20.12.2013 в 16:09

Груша Вильямс
Гость, тогда треугольники `ACK` и `KCE` подобны, `k = (AK) / (DE) = (KC) / (CE)`, `k = (sqrt(3)y) / (2DE) = (y+2)/2`, `DE=(sqrt(3)y)/(y+2)`, а с другой стороны
`DE=sqrt(y^2-4)/2`, откуда опять получается уравнение четвёртой степени. Или через прямоугольную трапецию `ADEK` как-то ?
URL
20.12.2013 в 16:18

Гость
откуда опять получается уравнение четвёртой степени...
Получается. Без него никуда. Вопрос в разрешимости элементарными методами.

тогда треугольники
Там возникает еще одна пара подобных треугольников
URL
20.12.2013 в 16:35

Груша Вильямс
Гость, треугольники `AEK` и `BEC` подобны, но ведь из этого подобия `y` не найти.
URL
20.12.2013 в 16:52

Гость
У меня есть выбор: воспроизвести чужое решение или (с каким-то видом) сохранять молчание. Что лучше сделать?
URL
20.12.2013 в 16:54

Груша Вильямс
Гость, нет, я ещё денек подумаю :) А другие решатели не знаю как.
URL
20.12.2013 в 17:02

Гость
Хорошо :)
URL
20.12.2013 в 18:29

Груша Вильямс
Вроде бы сделал :)

По теореме синусов получим `sqrt(3)/(2sin(alpha))=x+1`, откуда `sin(alpha)=sqrt(3)/(2(x+1))`, а `DE=2DH=2sin(alpha)=sqrt(3)/(x+1)`.
`3/(x+1)^2 + 1 = x^2`, `3+x^2+2x+1=x^4+2x^3+x^2`, `x^4+2x^3-2x-4=0`, `x^3(x+2)-2(x+2)=0`, `(x+2)(x^3-2)=0`, откуда `x=root(3)(2)`.
Не верится прям :smiletxt:
URL
20.12.2013 в 19:46

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, Вау!... как всё оказывается... :red:
URL
24.07.2014 в 21:52

Груша Вильямс
Сейчас читал про великие задачи античности и увидел "удивительное построение, предложенное великим Исааком Ньютоном" в решении задачи об удвоении куба с отметкой на линейке отрезка, длина которого равна либо единице, либо длине ребра куба. Собственно это построение чем-то похоже на то, что в задаче, построить отрезок длиной `root(3)2`.
URL
25.07.2014 в 03:29

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, поделитесь подробностями... :)
URL
10.08.2014 в 14:20

Груша Вильямс
All_ex, Мир Математики, том 25.




Чем-то похоже :)
URL
10.08.2014 в 19:38

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, Чем-то похоже - да... но вопросов к построению остаётся много... :upset: ... или я чего-то недопонял...
URL
10.08.2014 в 20:32

Груша Вильямс
All_ex, но вопросов к построению остаётся много... согласен, у меня ассоциации были когда читал: много единиц и корень кубический из двух и в этой задаче то же самое. Вполне возможно что данная задача известная попытка решения задачи об удвоении куба либо навеяна задачей об удвоении куба :)
URL
10.08.2014 в 21:46

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, Аааа... перерисовал достроил исходную картинку... получилась такая же как в ММ25...
но к ней самой всё равно много вопросов... :shuffle2:
URL