Оросительные каналы

[wpoms.]

Сельхозугодия имеют форму квадрата со стороной 12 ед. Внутри имеется источник воды, который наполняет систему орошения, состоящую из нескольких каналов, образующих ломаную. Будем рассматривать источник воды как точку, в каждый канал как отрезок прямой. Известно, что точка сельхозугодий может орошаться, если она расположена на расстоянии не более 1 ед. от канала, и то, что система может оросить любую точку сельхозугодий. Докажите, что общая протяженность оросительных каналов превышает 70 ед.

@темы: Планиметрия, Доказательство неравенств

Comments

[Adjirranirr]

Будем говорить, что ломаная «покрывает» фигуру некоторой площади, если для каждой точки этой фигуры найдется хотя бы одна точка ломаной, удаленная от нее не дальше, чем на единицу расстояния.

Докажем, что ломаная длины `l` покрывает площадь, не большую, чем `2l + \pi`, причем максимум достигается, если эта ломаная — прямая.


В самом деле, предположим, что на ломаной, покрывающей максимальную площадь, есть точка излома, и отрезки, составляющие ломаную до этой точки, имеют длины `l_1` и `l_2` и сходятся под углом `\pi - \alpha`.


Тогда суммарная площадь покрытия есть `S = (2*l_1 + \pi - (\pi/2 + S_{BCO})) + (2*l_2 + \pi - (\pi/2 + S_{ABO})) + \alpha = 2 (l_1 + l_2) + \pi - (S_{ABCO} - \alpha) < 2(l_1 + l_2) + \pi`. Таким образом, спрямление одной точки приведет к увеличению площади покрытия ломаной. Но тогда после спрямления всех ее точек ломаная будет являться прямой и покрывать максимальную площадь.

Площадь исходного квадрата — `144`. Предположив, что ломаная покрывает весь квадрат, для ее длины получим `2*l + \pi > 144 => 2l > 144 - \pi > 140` и `l > 70`.

[Garryncha]

Adjirranirr, а как вы додумались до этого решения?

[Гость]

Adjirranirr, красиво
но, наверно, надо было бы ещё про замкнутые ломанные сказать для полноты картины

[Adjirranirr]

Garryncha, так же, как и всегда.

Гость, мне кажется, это было бы лишним — вполне очевидно, что разрыв ломаной увеличивает площадь ее покрытия =)

[Garryncha]

Adjirranirr,

так же, как и всегда.

Может быть, вы наезд какой-то увидели. А я прочитал ваше решение и вижу: ну да, всё верно. Но я не понимаю, как бы я сам к нему пришёл. Поэтому спрашиваю: «Как вы додумались до этого решения?»

[Adjirranirr]

Garryncha, в данной формулировке задачи мне кажется логичным сначала найти, какие точки будут орошаться, и сколько их. Ну а «сколько» для плоскости — это «какая площадь». А уже площадь найти и максимизировать (и сравнить с исходной, конечно) — дело техники.

[Garryncha]

Adjirranirr, спасибо! Если встретятся подобные задачи, может, идея «сколько точек, т.е. какую площадь оросит линия» — поможет.

[Гость]

Adjirranirr, мне кажется, это было бы лишним — вполне очевидно, что разрыв ломаной увеличивает площадь ее покрытия =) - я почему-то про уменьшение думал