Олимпиада Португалии по математике www.spm.pt/olimpiadas/ Олимпиада Португалии по математике - ежегодное состязание, которое проводит Португальское математическое общество для школьников 1, 2 и 3 ступеней базового образования. В этом году состоялась юбилейная 30-я олимпиада. Задачи, предлагаемые в этом конкурсе, предназначены для проверки мышления, творческих способностей и фантазии школьников. Важными качествами, оцениваемыми при проверке работ, являются логическая строгость, четкость изложения и изящество решений. Олимпиада не ставит своей целью проверку накопленных школьниками знаний, однако умственное развитие зависит и от возраста участников, что приводит к необходимости разделения участников на три группы: младшая возрастная категория (Junior), категория A и категория B. Категория Junior для школьников 6 и 7 годов обучения, категория A для школьников 8 и 9 лет обучения и категория B для старшеклассников. Олимпиада проводится в три этапа: Первый раунд, который проводится во всех школах, которые выразили желание принять в нем участие, для всех желающих. Второй раунд, который используется как региональный финал, проводится в некоторых школах по стане для школьников, прошедших отбор по правилам OPM. Национальный финал проводится в школах, приглашенных для организации этого этапа, в нем принимают участие 30 школьников каждой категории, отобранных по результатам региональных финалов. В дополнение к указанным выше категориям проводятся мини-олимпиады для школьников 3 и 4 годов обучения и пре-олимпиады для школьников 5 года обучения. Они проводятся в один этап. |  |
-
-
22.12.2021 в 19:281. Артур задумал натуральное число и сообщил, что сумма его трёх меньших делителей равна 17, сумма трёх больших --- 3905. Найдите все числа, удовлетворяющие этим условиям.
обсуждение
2. На рисунке изображен квадрат $ABCD,$ длина стороны которого равна 1. Точки $E,$ $F,$ $G$ и $H$ выбраны так, что треугольники $AFB,$ $BGC,$ $CHD$ и $DEA$ являются прямоугольными. Известно, что радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники и в квадрат $EFGH,$ равны $R.$ Найдите $R.$
обсуждение
3. Сколькими способами можно покрасить клетки шахматной доски размером `m xx n,` так, что каждая клетка покрашена в один из четырёх цветов и в каждом квадрате `2xx2` есть клетки четырёх разных цветов?
обсуждение
4. Точки D, E, F симметричны центру описанной окружности треугольника ABC относительно его сторон.
Докажите, что треугольники ABC и DEF равны.
обсуждение
5. Директор музея распорядился выставить около наиболее ценного экспоната постоянную охрану. Известно, что каждый стражник охраняет экспонат в течении 7 часов, после этого уходит и возвращается на службу в то же время, что и накануне, и снова 7 часов дежурит около экспоната и так далее. Стражник называется незаменимым, если какое-то время он охраняет экспонат один. Найдите все возможные значения количества стражников, если все они являются незаменимыми.
обсуждение
6. Треугольник разделили на девять маленьких треугольников и написали в каждой из десяти вершин число 0. За один ход можно выбрать один из девяти треугольников и либо увеличить все числа в его вершинах на 1, либо уменьшить их на 1. На рисунке показана ситуация после возможного первого хода.
Число $n$ назовем доминантным, если возможно из начального положения, выполняя описанные ранее шаги, получить конфигурацию, в которой в вершинах написаны последовательные числа и большее из них равно $n.$
Найдите все доминантные числа.
обсуждение