Планиметрия

[wpoms.]

Рассмотрим окружность `C` с центром `O` и точку `Q` внутри окружности, не совпадающую с центром. Найти точку `P in C`, для которой `/_OPQ` принимает максимальное значение.

@темы: Планиметрия

Comments

[Adjirranirr]

Немного ангема =)

Рассмотрим систему координат такую, что `O` совпадает с ее центром, а точка `Q` лежит на оси ординат. Пусть координаты точки `Q` — `(0,\ s)`, точки `P` — `(\sqrt(1 - y^2),\ y)`. Тогда `\vec(PO) = (-\sqrt(1 - y^2),\ -y)`, `\vec(PQ) = (-\sqrt(1 - y^2),\ s - y)`; `||\vec(PO){:|| \cdot {:||\vec(PQ){:|| = 1\cdot \sqrt(1-y^2 + (s - y)^2),\ (:\vec(PO),\ \vec(PQ) = 1 - sy` и `/_ (\vec(PO),\ \vec(PQ)) = arccos (\frac {1 - sy} {sqrt(1-y^2 + (s - y)^2)})`. Производная `(\partial)/( \partial y) arccos (\frac {1 - sy} {sqrt(1-y^2 + (s - y)^2)}) = \frac {s (y - s)} {(s^2 - 2s*y + 1) * \sqrt(1-y^2) }` имеет единственный ноль `y = s`; при этом при `y < s` эта производная положительна, при `y > s` — отрицательна. Таким образом, при `y = s` достигается максимальный угол. Это точка (любая, или обе) пересечения перпендикуляра к отрезку `OQ`, проведенного к точке `Q`, с окружностью `C`.

[All_ex]

Ну, вроде без координат можно обойтись...
Рассмотрим треугольник `OQP` и описывающую его окружность....
Синус угла `OPQ` выражается по теореме синусов... следовательно, чем меньше радиус, тем больше...
Таким образом, минимум радиуса получаем, когда окружность описывающая треугольник касается исходной окружности... следовательно, в точке `P` имеем общую касательную к окружностям... а поскольку `OP` радиус исходной окружности, то он перпендикулярен касательной... С другой стороны `OP` хорда описанной окружности, которая перпендикулярна касательной, следовательно, она является диаметром... то есть треугольник `OPQ` прямоугольный с прямым углом `PQO`...