21:07 

Математическая олимпиада США

wpoms
Step by step ...


Индейцы (коренное население Америки) истреблены почти подчистую всякими покорителями прерий и прочими уголовниками, которых до сих пор США и Канада считают национальными героями. И очень обидно становится за мужественных аборигенов Северной Америки, убийство которых по национальному признаку замалчивается. Все знают про холокост, геноцид евреев, а про индейцев… Как-то прошло мимо демократической общественности. Это именно геноцид.
Людей убивали только за то, что они индейцы!

читать дальше

Благодарю Дилетант и All_ex за помощь и поддержку.

Условия задач в комментарии.

@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2018-11-17 в 21:10 

wpoms
Step by step ...
1972 год

1. Записи вида `(a,b,...,g)` и `[a,b,...,g]` обозначают соответственно наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное положительных целых чисел `a,b,...,g`. Например, `(3,6,18)=3` и `[6,15]=30`. Докажите, что
`([a,b,c]^2)/([a,b][b,c][c,a]) = ((a,b,c)^2)/((a,b)(b,c)(c,a)).`
обсуждение

2. Известно, что длины рёбер тетраэдра `ABCD` удовлетворяют условиям `AB=CD,` `AC=BD,` `AD=BC`. Покажите, что грани тетраэдра являются остроугольными треугольниками.
обсуждение

3. Случайным образом с равной вероятностью выбирается одно из девяти целых чисел 1, 2, ..., 9. Найдите вероятность того, что после `n` таких выборов (`n>1`) произведение `n` выбранных чисел будет делиться на 10.
обсуждение

4. Пусть `R` обозначает неотрицательное рациональное число. Найдите фиксированный набор целых чисел `a,` `b,` `c,` `d,` `e,` `f` таких, что для любых `R` выполняется условие
`|(aR^2+bR+c)/(dR^2+eR+f) - root[3]{2}| < |R - root[3]{2}|`
обсуждение

5. Дан выпуклый пятиугольник `ABCDE` такой, что площадь каждого из пяти треугольников `ABC`, `BCD`, `CDE`, `DEA` и `EAB` равна единице. Покажите, что все пятиугольники, обладающие этим свойством, имеют одну и ту же площадь и найдите её. Дополнительно покажите, что существует бесконечно много неравных пятиугольников, обладающих этим свойством.

обсуждение

2018-11-17 в 22:03 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов

REDBONE We Were All Wounded at Wounded Knee 1973
Бойня на ручье Вундед-Ни

2018-11-18 в 00:02 

Я извиняюсь, но при чем к этой статье математика в принципе и олимпиады по математике в США в частности?
Зачем было все это? Мне, например, не доставило никакого удовольствия читать эту чудо-статью в надежде увидеть хоть одну задачу. Могли бы изначально написать, что сейчас будет пост о супер далеком от тематики сообщества предмете, а в комментариях вы добавите то, из-за чего и создавалась запись.

2018-11-18 в 08:08 

wpoms
Step by step ...
а в комментариях вы добавите то, из-за чего и создавалась запись.
Сейчас добавлю

2018-11-25 в 22:02 

wpoms.
Step by step ...
1973 год

1. Две точки `P` и `Q` лежат внутри правильного тетраэдра `ABCD`. Докажите, что угол `PAQ < 60^@`.
обсуждение

2. Пусть `{X_n}` и `{Y_n}` — две целочисленные последовательности, такие, что:
`X_0=1`, `X_1=1`, `X_{n+1}=X_n+2X_{n-1}` `(n=1,2,3,...),`
`Y_0=1`, `Y_1=7`, `Y_{n+1}=2Y_n+3Y_{n-1}` `(n=1,2,3,...)`.
То есть, первые несколько их членов таковы:
`X:1, 1, 3, 5, 11, 21, ...`,
`Y:1, 7, 17, 55, 161, 487, ...`.
Докажите, что эти последовательности не имеют общих членов, кроме 1.
обсуждение

3. Из вершин правильного `(2n + 1)` - угольника случайным образом выбираются три вершины. Считая выборы всех троек равновероятными, найдите вероятность того, что центр данного многоугольника лежит внутри треугольника, определяемого тремя выбранными точками.
обсуждение

4. Найдите все решения, вещественные или комплексные, системы уравнений `x+y+z=3`, `x^2+y^2+z^2=3`, `x^3+y^3+z^3=3`.
обсуждение

5. Покажите, что кубические корни из трех различных простых чисел не могут быть членами (не обязательно последовательными) одной арифметической прогрессии.
обсуждение

2019-01-09 в 20:37 

wpoms.
Step by step ...
1974 год

1. Пусть `a`, `b`, и `c` — различные целые числа, а `P` — полином с целыми коэффициентами. Покажите, что невозможно одновременное выполнение равенств `P(a)=b`, `P(b)=c` и `P(c)=a`.
обсуждение

2. Докажите, что для положительных действительных чисел `a`, `b` и `c` верно неравенство `a^a*b^b*c^c >= (a*b*c)^{(a+b+c)/3}`.
обсуждение

3. Две точки на поверхности шара радиуса 1 соединены кривой, длина которой меньше 2 и все точки которой не лежат вне шара. Докажите, что кривая содержится в половине шара, ограниченной полусферой и плоскостью, проходящей через его центр.
обсуждение

4. Папа, мама и сын проводят семейный турнир, играя в игру без ничьих, в каждой партии которой участвуют два игрока. Правила турнира:
(i) Самый слабый игрок выбирает первую пару игроков.
(ii) Победитель очередной партии проводит следующую партию против человека, не игравшего в предыдущей партии.
(iii) Первый человек, выигравший две партии, выигрывает турнир.
Папа - самый слабый игрок, сын - сильнейший. Предполагается, что вероятность любого игрока выиграть партию у другого игрока не меняется во время турнира. Докажите, что оптимальная стратегия папы для победы в турнире - сыграть первую партию с мамой.
обсуждение

5. Рассмотрим два треугольника `ABC` и `PQR`, показанные на рисунке. Точка `D` в треугольнике `ABC` выбрана так, что `/_ ADB = /_ BDC = /_ CDA = 120^@`. Докажите, что `x = u + v + w`.

обсуждение

2019-03-17 в 17:42 

wpoms.
Step by step ...
1975 год

1. (a) Докажите, что $[5x]+[5y]\ge [3x+y]+[3y+x],$ где $x,y\ge 0$, а $[u]$ обозначает наибольшее целое число, которое не превосходит $u$ (например, $[\sqrt{2}]=1$).
(b) Используя (a) или что-либо другое, докажите, что $\frac{(5m)!(5n)!}{m!n!(3m+n)!(3n+m)!}$ является целым для любых натуральных $m$ и $n$.
обсуждение

2. Пусть $A,B,C,D$ обозначают четыре точки в пространстве, а $AB$ - расстояние между точками $A$ и $B,$ и так далее. Покажите, что $AC^2 + BD^2 + AD^2 + BC^2 \ge AB^2 + CD^2.$
обсуждение

3. Пусть $P(x)$ - многочлен степени $n$ такой, что $P(k)=\frac{k}{k+1}$ для $k=0,1,2,\ldots,n$. Вычислите $P(n+1)$.
обсуждение

4. Две окружности пересекаются в точках `P` и `Q`. Покажите как построить отрезок `AB` с концами на разных окружностях, проходящий через точку `P`, такой что `AP * PB` имеет максимальное значение.

обсуждение

5. Колоду из `n` игральных карт, содержащую три туза, перетасовали случайным образом (предполагается, что любой порядок карт в колоде является равновозможным). Затем карты выкладывают по одной до появления второго туза. Докажите, что ожидаемое (среднее) количество выложенных карт равно `(n + 1)/2`.
обсуждение

2019-05-07 в 16:59 

wpoms.
Step by step ...
1976 год

1. (a) Каждый квадрат шахматной доски размером `4 xx 7,` окрашен либо в черный цвет, либо в белый цвет. Докажите, что при любой такой раскраске доска должна содержать прямоугольник (образованный горизонтальными и вертикальными линиями доски, пример изображён на рисунке), чьи четыре угловых клетки имеют одинаковый цвет.

(b) Приведите пример черно-белой раскраски доски `4 xx 6,` в которой угловые клетки каждого прямоугольника (описанного выше) не имеют одинаковый цвет.
обсуждение

2. Пусть $A$ и $B$ - фиксированные точки на заданной окружности, а $XY$ - переменный диаметр той же окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых $AX$ и $BY$. Можно считать, что $AB$ не является диаметром.

обсуждение

3. Найдите все целочисленные решения уравнения `a^2+b^2+c^2=a^2b^2.`
обсуждение

4. Пусть $PABC$ - треугольная пирамида, в которой $\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 90^o$, а сумма длин шести рёбер равна $S$. Найдите максимальное значение объёма такой пирамиды.
обсуждение

5. Даны многочлены $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$ и $S(x)$ такие, что $P(x^5) + xQ(x^5) + x^2 R(x^5) = (x^4 + x^3 + x^2 + x +1) S(x).$ Докажите, что $x-1$ является делителем многочлена $P(x).$
обсуждение

2019-07-14 в 14:58 

wpoms.
Step by step ...
1977 год

1. Найдите все такие пары целых положительных чисел $(m,n)$, что выражение $(1+x^n+x^{2n}+\cdots+x^{mn})$ делится на $(1+x+x^2+\cdots+x^{m})$.
обсуждение

2. $ABC$ и $A'B'C'$ — два треугольника, лежащих в одной плоскости, такие, что прямые $AA',BB',CC'$ попарно параллельны. Пусть $[ABC]$ обозначает площадь треугольника $ABC$ с соответствующим знаком $\pm,$ и т.д. *
Докажите, что
$3([ABC]+ [A'B'C']) = [AB'C'] + [BC'A'] + [CA'B']+ [A'BC]+[B'CA] + [C'AB].$


*Напомним читателю, что знак [ABC] определяется следующим образом. Думая о плоскости как о поверхности непрозрачной бумаги, будем считать, что положительным является вращение на ней против часовой стрелки. Тогда вращение треугольника [ABC] будет положительным, если перемещение вокруг треугольника в направлении А - В - С - А происходит против часовой стрелки, и будет отрицательным, если это перемещение происходит по часовой стрелке.
обсуждение

3. Пусть $a$ и $b$ являются корнями уравнения $x^4+x^3-1=0$. Докажите, что $ab$ — корень уравнения $x^6+x^4+x^3-x^2-1=0$.
обсуждение

4. Докажите, что если противоположные стороны непланарного четырехугольника (четырехугольника, вершины которого не лежат в одной плоскости) равны, то линия, соединяющая середины двух диагоналей, перпендикулярна этим диагоналям, и наоборот, если линия, соединяющая середины двух диагоналей непланарного четырехугольника перпендикулярна этим диагоналям, то противоположные стороны четырехугольника равны.
обсуждение

5. Пусть $a,b,c,d,e$ — положительные числа, ограниченные значениями $p$ и $q$, т.е., они лежат в $[p,q], 0 < p,$. Докажите, что
$(a+b +c +d +e)\left(\frac{1}{a} +\frac {1}{b} +\frac{1}{c} + \frac{1}{d} +\frac{1}{e}\right) \le 25 + 6\left(\sqrt{\frac {p}{q}} - \sqrt {\frac{q}{p}}\right)^2$
и определите, когда выполняется равенство.
обсуждение

2019-10-08 в 18:03 

wpoms.
Step by step ...
1978 год

1. Пусть $a,b,c,d,e$ --- действительные числа такие, что $a+b+c+d+e=8, \quad a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16.$ Найдите максимальное значение $e$.
обсуждение

2. $ABCD$ и $A'B'C'D'$ являются квадратными картами некоторой страны, выполненными в разных масштабах и наложенными так, как показано на рисунке. Докажите, что на меньшей карте имеется единственная точка $O$ такая, что она лежит на точке $O'$ большей карты и $O$ и $O'$ соответствуют одному и тому же месту страны. Постройте с помощью циркуля и линейки точку $O$.

обсуждение

3. Целое число $n$ назовём хорошим, если оно может быть представлено в виде $n=a_1+a_2+\cdots+a_k$, где $a_1,a_2, \ldots, a_k$ являются положительными (не обязательно различными) целыми числами, удовлетворяющими равенству
$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_k} = 1.$
Известно, что целые числа от 33 до 73 являются хорошими. Докажите, что каждое целое число $\ge 33$ хорошее.
обсуждение

4. (a) Докажите, что если шесть углов между парами граней данного тетраэдра равны, то тетраэдр является правильным.
(b) Будет ли тетраэдр правильным, если равны пять пар таких углов?
обсуждение

5. Девять математиков встретились на международной конференции и оказалось, что среди любых трёх из них по крайней мере двое говорят на одном языке. Пусть каждый математик может говорить не более чем на трёх языках. Докажите, что по крайней мере три математика могут говорить на одном языке.
обсуждение

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная