Индейцы (коренное население Америки) истреблены почти подчистую всякими покорителями прерий и прочими уголовниками, которых до сих пор США и Канада считают национальными героями. И очень обидно становится за мужественных аборигенов Северной Америки, убийство которых по национальному признаку замалчивается. Все знают про холокост, геноцид евреев, а про индейцев… Как-то прошло мимо демократической общественности. Это именно геноцид.
Людей убивали только за то, что они индейцы!
читать дальшеБолее полувека после открытия Америки местное население вообще не считали за людей. То есть натурально принимали за животных. На основании того, что индейцы не упомянуты в Библии. Значит, их как бы и нет.
В результате холокоста американских индейцев, так же известного как «пятисотлетняя война», было уничтожено 95 из 114 миллионов коренных жителей нынешних территорий США и Канады.
Гитлеровская концепция концентрационных лагерей, многим обязана его изучению английского языка и истории Соединенных Штатов.
Он восхищался лагерями для буров в Южной Африке и для индейцев на Диком Западе, и часто в своем ближайшем окружении хвалил эффективность уничтожения коренного населения Америки, красных дикарей, которые не могут быть пленены и приручены — от голода и в неравных боях.
Термин Геноцид происходит от латинского (genos — раса, племя, cide — убийство) и буквально означает уничтожение или истребление целого племени или народа.
Оксфордский словарь английского языка определяет геноцид как «преднамеренное и систематическое истребление этнических или национальных групп», и ссылается на первое употребление термина у Рафаэля Лемкина относительно действий нацистов в оккупированной Европе.
Правительство Соединенных Штатов отказалось ратифицировать конвенцию ООН о геноциде.
И не мудрено. Многие аспекты геноцида были реализованы на коренных народах Северной Америки.
Список американской политики геноцида включает в себя: массовое истребление, биологические войны, принудительное выселение из родных мест, лишение свободы, внедрение ценностей, отличных от коренных, вынужденная хирургическая стерилизация местных женщин, запрет на проведение религиозных обрядов и т.д.
«Окончательное решение» проблемы индейцев Северной Америки стало моделью для последующего еврейского холокоста и южноафриканского апартеида.
Но почему самый большой холокост скрыт от общественности? Не потому ли, что это продолжалось так долго, что стало привычкой? Показательно, что информация об этом холокосте преднамеренно исключена из базы знаний и сознания жителей Северной Америки и всего мира.
Школьники до сих пор учит, что большие территории Северной Америки необитаемы.
Но до прихода европейцев здесь процветали города американских индейцев. В Мехико проживало больше населения, чем в любом городе Европы. Люди были здоровы и сыты.
Первые европейцы были поражены. Сельскохозяйственные продукты, культивировавшиеся коренными народами завоевали признание на международном уровне.
В отличие от послевоенной Германии, Северная Америка отказывается признать геноцидом уничтожение индейцев. Власти Северной Америки не хотят признавать, что это было и остается системным планом уничтожения большей части коренного населения.
Термин «окончательное решение» не было придумано нацистами. Это был управляющий по делам индейцев, Дункан Кэмпбелл Скотт, Канада Адольфа Эйхмана, который в апреле 1910 года так заботился об «индейской проблеме»:
«Мы признаем, что индейские дети теряют естественную сопротивляемость к болезням в этих тесных школах, и что они умирают гораздо более высокими темпами, чем в своих деревнях. Но это само по себе не является основанием для изменения политики этого департамента, направленной на окончательное решение нашей индейской проблемы».
Европейская колонизация Америки навсегда изменила жизнь и культуру коренных американцев. В 15-19-м веках их поселения были разорены, народы истреблены или порабощены.
Марлон Брандо в своей автобиографии посвящает несколько страниц геноциду американских индейцев:
«После того, как их земли были отняты у них, оставшиеся в живых были согнаны в резервации, а правительство направило к ним миссионеров, которые пытались заставить индейцев стать христианами. После того, как я стал интересоваться американскими индейцами, я обнаружил, что многие люди даже не считают их человеческими существами.
И так было с самого начала.
Коттон Матер, преподаватель Гарвардского колледжа, почетный доктор Университета Глазго, министр-пуританец, плодовитый писатель и публицист, известный исследованиями Салемских ведьм, сравнивал индейцев детьми сатаны и считал Божьей волей — убивать язычников-дикарей, которые стояли на пути христианства.
В 1864 году полковник американской армии по имени Джон Шевинтон, расстреливая из гаубиц очередную индейскую деревню сказал, что индейских детей не следует жалеть, потому что из гниды вырастает вошь.
Он сказал своим офицерам: «Я пришел, чтобы убивать индейцев, и считаю, что это право и почетная обязанность. И необходимо использовать любые средства под небом Бога, чтобы убивать индейцев».
Солдаты отрезали вульвы индийских женщин и натягивали их на луки седел, а из кожи мошонки и грудей индийских женщин делали кисеты, а затем демонстрировали эти трофеи вместе с отрезанными носами, ушами и скальпами убитых индейцев в Денверском Оперном театре. Просвещенные, культурные и набожные цивилизаторы.
Когда в очередной раз США заявляют о своем желании просветить очередной народ, погрязший в дикости, бездуховности и тоталитаризме, не стоит забывать о том, что мертвечиной основательно провоняли сами США, используемые ими средства сложно назвать цивилизованными, а цели они вряд ли имеют такие, которые не преследуют собственную наживу.
Источник: Американский Холокост: Д. Стэннард (Oxford Press, 1992) — «более 100 миллионов убитых»
Благодарю
Дилетант и
All_ex за помощь и поддержку.
Условия задач в комментарии.
@темы:
Олимпиадные задачи
-
-
17.11.2018 в 21:101. Записи вида `(a,b,...,g)` и `[a,b,...,g]` обозначают соответственно наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное положительных целых чисел `a,b,...,g`. Например, `(3,6,18)=3` и `[6,15]=30`. Докажите, что
`([a,b,c]^2)/([a,b][b,c][c,a]) = ((a,b,c)^2)/((a,b)(b,c)(c,a)).`
обсуждение
2. Известно, что длины рёбер тетраэдра `ABCD` удовлетворяют условиям `AB=CD,` `AC=BD,` `AD=BC`. Покажите, что грани тетраэдра являются остроугольными треугольниками.
обсуждение
3. Случайным образом с равной вероятностью выбирается одно из девяти целых чисел 1, 2, ..., 9. Найдите вероятность того, что после `n` таких выборов (`n>1`) произведение `n` выбранных чисел будет делиться на 10.
обсуждение
4. Пусть `R` обозначает неотрицательное рациональное число. Найдите фиксированный набор целых чисел `a,` `b,` `c,` `d,` `e,` `f` таких, что для любых `R` выполняется условие
`|(aR^2+bR+c)/(dR^2+eR+f) - root[3]{2}| < |R - root[3]{2}|`
обсуждение
5. Дан выпуклый пятиугольник `ABCDE` такой, что площадь каждого из пяти треугольников `ABC`, `BCD`, `CDE`, `DEA` и `EAB` равна единице. Покажите, что все пятиугольники, обладающие этим свойством, имеют одну и ту же площадь и найдите её. Дополнительно покажите, что существует бесконечно много неравных пятиугольников, обладающих этим свойством.
обсуждение
-
-
17.11.2018 в 22:03REDBONE We Were All Wounded at Wounded Knee 1973
Бойня на ручье Вундед-Ни
-
-
18.11.2018 в 00:02Зачем было все это? Мне, например, не доставило никакого удовольствия читать эту чудо-статью в надежде увидеть хоть одну задачу. Могли бы изначально написать, что сейчас будет пост о супер далеком от тематики сообщества предмете, а в комментариях вы добавите то, из-за чего и создавалась запись.
-
-
18.11.2018 в 08:08Сейчас добавлю
-
-
25.11.2018 в 22:021. Две точки `P` и `Q` лежат внутри правильного тетраэдра `ABCD`. Докажите, что угол `PAQ < 60^@`.
обсуждение
2. Пусть `{X_n}` и `{Y_n}` — две целочисленные последовательности, такие, что:
`X_0=1`, `X_1=1`, `X_{n+1}=X_n+2X_{n-1}` `(n=1,2,3,...),`
`Y_0=1`, `Y_1=7`, `Y_{n+1}=2Y_n+3Y_{n-1}` `(n=1,2,3,...)`.
То есть, первые несколько их членов таковы:
`X:1, 1, 3, 5, 11, 21, ...`,
`Y:1, 7, 17, 55, 161, 487, ...`.
Докажите, что эти последовательности не имеют общих членов, кроме 1.
обсуждение
3. Из вершин правильного `(2n + 1)` - угольника случайным образом выбираются три вершины. Считая выборы всех троек равновероятными, найдите вероятность того, что центр данного многоугольника лежит внутри треугольника, определяемого тремя выбранными точками.
обсуждение
4. Найдите все решения, вещественные или комплексные, системы уравнений `x+y+z=3`, `x^2+y^2+z^2=3`, `x^3+y^3+z^3=3`.
обсуждение
5. Покажите, что кубические корни из трех различных простых чисел не могут быть членами (не обязательно последовательными) одной арифметической прогрессии.
обсуждение
-
-
09.01.2019 в 20:371. Пусть `a`, `b`, и `c` — различные целые числа, а `P` — полином с целыми коэффициентами. Покажите, что невозможно одновременное выполнение равенств `P(a)=b`, `P(b)=c` и `P(c)=a`.
обсуждение
2. Докажите, что для положительных действительных чисел `a`, `b` и `c` верно неравенство `a^a*b^b*c^c >= (a*b*c)^{(a+b+c)/3}`.
обсуждение
3. Две точки на поверхности шара радиуса 1 соединены кривой, длина которой меньше 2 и все точки которой не лежат вне шара. Докажите, что кривая содержится в половине шара, ограниченной полусферой и плоскостью, проходящей через его центр.
обсуждение
4. Папа, мама и сын проводят семейный турнир, играя в игру без ничьих, в каждой партии которой участвуют два игрока. Правила турнира:
(i) Самый слабый игрок выбирает первую пару игроков.
(ii) Победитель очередной партии проводит следующую партию против человека, не игравшего в предыдущей партии.
(iii) Первый человек, выигравший две партии, выигрывает турнир.
Папа - самый слабый игрок, сын - сильнейший. Предполагается, что вероятность любого игрока выиграть партию у другого игрока не меняется во время турнира. Докажите, что оптимальная стратегия папы для победы в турнире - сыграть первую партию с мамой.
обсуждение
5. Рассмотрим два треугольника `ABC` и `PQR`, показанные на рисунке. Точка `D` в треугольнике `ABC` выбрана так, что `/_ ADB = /_ BDC = /_ CDA = 120^@`. Докажите, что `x = u + v + w`.
обсуждение
-
-
17.03.2019 в 17:421. (a) Докажите, что $[5x]+[5y]\ge [3x+y]+[3y+x],$ где $x,y\ge 0$, а $[u]$ обозначает наибольшее целое число, которое не превосходит $u$ (например, $[\sqrt{2}]=1$).
(b) Используя (a) или что-либо другое, докажите, что $\frac{(5m)!(5n)!}{m!n!(3m+n)!(3n+m)!}$ является целым для любых натуральных $m$ и $n$.
обсуждение
2. Пусть $A,B,C,D$ обозначают четыре точки в пространстве, а $AB$ - расстояние между точками $A$ и $B,$ и так далее. Покажите, что $AC^2 + BD^2 + AD^2 + BC^2 \ge AB^2 + CD^2.$
обсуждение
3. Пусть $P(x)$ - многочлен степени $n$ такой, что $P(k)=\frac{k}{k+1}$ для $k=0,1,2,\ldots,n$. Вычислите $P(n+1)$.
обсуждение
4. Две окружности пересекаются в точках `P` и `Q`. Покажите как построить отрезок `AB` с концами на разных окружностях, проходящий через точку `P`, такой что `AP * PB` имеет максимальное значение.
обсуждение
5. Колоду из `n` игральных карт, содержащую три туза, перетасовали случайным образом (предполагается, что любой порядок карт в колоде является равновозможным). Затем карты выкладывают по одной до появления второго туза. Докажите, что ожидаемое (среднее) количество выложенных карт равно `(n + 1)/2`.
обсуждение
-
-
07.05.2019 в 16:591. (a) Каждый квадрат шахматной доски размером `4 xx 7,` окрашен либо в черный цвет, либо в белый цвет. Докажите, что при любой такой раскраске доска должна содержать прямоугольник (образованный горизонтальными и вертикальными линиями доски, пример изображён на рисунке), чьи четыре угловых клетки имеют одинаковый цвет.
(b) Приведите пример черно-белой раскраски доски `4 xx 6,` в которой угловые клетки каждого прямоугольника (описанного выше) не имеют одинаковый цвет.
обсуждение
2. Пусть $A$ и $B$ - фиксированные точки на заданной окружности, а $XY$ - переменный диаметр той же окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых $AX$ и $BY$. Можно считать, что $AB$ не является диаметром.
обсуждение
3. Найдите все целочисленные решения уравнения `a^2+b^2+c^2=a^2b^2.`
обсуждение
4. Пусть $PABC$ - треугольная пирамида, в которой $\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 90^o$, а сумма длин шести рёбер равна $S$. Найдите максимальное значение объёма такой пирамиды.
обсуждение
5. Даны многочлены $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$ и $S(x)$ такие, что $P(x^5) + xQ(x^5) + x^2 R(x^5) = (x^4 + x^3 + x^2 + x +1) S(x).$ Докажите, что $x-1$ является делителем многочлена $P(x).$
обсуждение
-
-
14.07.2019 в 14:581. Найдите все такие пары целых положительных чисел $(m,n)$, что выражение $(1+x^n+x^{2n}+\cdots+x^{mn})$ делится на $(1+x+x^2+\cdots+x^{m})$.
обсуждение
2. $ABC$ и $A'B'C'$ — два треугольника, лежащих в одной плоскости, такие, что прямые $AA',BB',CC'$ попарно параллельны. Пусть $[ABC]$ обозначает площадь треугольника $ABC$ с соответствующим знаком $\pm,$ и т.д. *
Докажите, что
$3([ABC]+ [A'B'C']) = [AB'C'] + [BC'A'] + [CA'B']+ [A'BC]+[B'CA] + [C'AB].$
*Напомним читателю, что знак [ABC] определяется следующим образом. Думая о плоскости как о поверхности непрозрачной бумаги, будем считать, что положительным является вращение на ней против часовой стрелки. Тогда вращение треугольника [ABC] будет положительным, если перемещение вокруг треугольника в направлении А - В - С - А происходит против часовой стрелки, и будет отрицательным, если это перемещение происходит по часовой стрелке.
обсуждение
3. Пусть $a$ и $b$ являются корнями уравнения $x^4+x^3-1=0$. Докажите, что $ab$ — корень уравнения $x^6+x^4+x^3-x^2-1=0$.
обсуждение
4. Докажите, что если противоположные стороны непланарного четырехугольника (четырехугольника, вершины которого не лежат в одной плоскости) равны, то линия, соединяющая середины двух диагоналей, перпендикулярна этим диагоналям, и наоборот, если линия, соединяющая середины двух диагоналей непланарного четырехугольника перпендикулярна этим диагоналям, то противоположные стороны четырехугольника равны.
обсуждение
5. Пусть $a,b,c,d,e$ — положительные числа, ограниченные значениями $p$ и $q$, т.е., они лежат в $[p,q], 0 < p,$. Докажите, что
$(a+b +c +d +e)\left(\frac{1}{a} +\frac {1}{b} +\frac{1}{c} + \frac{1}{d} +\frac{1}{e}\right) \le 25 + 6\left(\sqrt{\frac {p}{q}} - \sqrt {\frac{q}{p}}\right)^2$
и определите, когда выполняется равенство.
обсуждение
-
-
08.10.2019 в 18:031. Пусть $a,b,c,d,e$ --- действительные числа такие, что $a+b+c+d+e=8, \quad a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16.$ Найдите максимальное значение $e$.
обсуждение
2. $ABCD$ и $A'B'C'D'$ являются квадратными картами некоторой страны, выполненными в разных масштабах и наложенными так, как показано на рисунке. Докажите, что на меньшей карте имеется единственная точка $O$ такая, что она лежит на точке $O'$ большей карты и $O$ и $O'$ соответствуют одному и тому же месту страны. Постройте с помощью циркуля и линейки точку $O$.
обсуждение
3. Целое число $n$ назовём хорошим, если оно может быть представлено в виде $n=a_1+a_2+\cdots+a_k$, где $a_1,a_2, \ldots, a_k$ являются положительными (не обязательно различными) целыми числами, удовлетворяющими равенству
$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_k} = 1.$
Известно, что целые числа от 33 до 73 являются хорошими. Докажите, что каждое целое число $\ge 33$ хорошее.
обсуждение
4. (a) Докажите, что если шесть углов между парами граней данного тетраэдра равны, то тетраэдр является правильным.
(b) Будет ли тетраэдр правильным, если равны пять пар таких углов?
обсуждение
5. Девять математиков встретились на международной конференции и оказалось, что среди любых трёх из них по крайней мере двое говорят на одном языке. Пусть каждый математик может говорить не более чем на трёх языках. Докажите, что по крайней мере три математика могут говорить на одном языке.
обсуждение
-
-
26.11.2019 в 17:381. Найти все наборы целых неотрицательных чисел $(n_1, n_2, ..., n_{14})$ (с точностью до перестановки), которые являются решением диофантова уравнения $n_1^4+n_2^4+...+n_{14}^4=1599$.
обсуждение
2. Обозначим точкой $N$ "северный полюс" сферы. Точки $A$ и $B$ лежат на большом круге, проходящем через точку $N$, и равноудалены от точки $N$. Точка $C$ лежит на "экваторе". Покажите, что большой круг, проходящий через точки $C$ и $N$ делит пополам угол $ACB$ в сферическом треугольнике $ABC$ (стороны сферического треугольника лежат на больших кругах, проходящих через соответствующие пары вершин).
обсуждение
3. $a_1, a_2, \ldots, a_n$ произвольная последовательность целых положительных чисел. Случайным образом выбрали элемент последовательности - пусть его значение равно $a$. Затем, независимо от первого, выбираем другой элемент последовательности - пусть его значение равно $b$. Затем выбираем третий элемент последовательности - $c$. Покажите, что вероятность того, что $a + b +c$ делится на $3$ не меньше, чем $\frac{1}{4}$.
обсуждение
4. Точка $P$ лежит между лучами $OA$ и $OB$. Найдите точку $Q$ на $OA$ и точку $R$ на $OB$, для которых $P \in QR$ и $\frac{1}{PQ} + \frac{1}{PR}$ принимает наибольшее значение.
обсуждение
5. Пусть $A_1,A_2,\ldots,A_{n+1}$ различные подмножества множества $\{1, 2, \ldots, n\}$ такие, что $|A_1|=|A_2|=\cdots =|A_{n+1}|=3$. Докажите, что $|A_i\cap A_j|=1$ для некоторой пары $\{i,j\}$.
обсуждение
-
-
27.01.2020 в 11:301. Разноплечный эквилибр (весы) имеет чаши различного веса. Он используется для взвешивания трех объектов. Первый объект уравновешивается весом $A$, если его кладут на левую чашу весов, и весом $a$, если его кладут на правую чашу. Соответствующие веса для второго объекта равны $B$ и $b$. Третий объект уравновешивается весом $C$, если его кладут на левую чашу. Каков его настоящий вес?
обсуждение
2. Найдите максимально возможное количество трехчленных арифметических прогрессий в монотонной последовательности из $n$ различных действительных чисел.
обсуждение
3. Пусть $A + B + C$ кратно $\pi$. $x, y,$ и $z$ — действительные числа.
Пусть $x \sin(A) + y \sin(B) + z \sin(C) = x^2 \sin(2A) + y^2 \sin(2B) + z^2 \sin(2C) = 0.$
Покажите, что $x^n \sin(nA) + y^n \sin(nB) + z^n \sin(nC) = 0$ для любого целого положительного $n$.
обсуждение
4. Сфера, вписанная в тетраэдр, касается каждой грани в ее центре тяжести. Покажите, что тетраэдр является правильным.
обсуждение
5. Пусть $x, y, z$ такие действительные числа, что $0 \le x, y, z \le 1$. Покажите, что $\frac{x}{y + z + 1} + \frac{y}{z + x + 1} + \frac{z}{x + y + 1} \le 1 - (1 - x)(1 - y)(1 - z)$
обсуждение
-
-
20.03.2020 в 15:291. Пусть $n$ не является кратным $3.$ Докажите, что угол $\frac{\pi}{n}$ можно разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки.
обсуждение
2. Чему равно наибольшее количество городов при выполнении следующих критериев. Каждая пара городов связана ровно одним авиа, автобусным или железнодорожным маршрутом. По крайней мере одна пара городов связана авиарейсом, по крайней мере одна пара связана автобусным маршрутом, по крайней мере одна пара городов связана железной дорогой. Ни один город не связан с какими-то другими тремя городами и авиарейсом, и автобусным маршрутом и железной дорогой. Нет трёх городов $A, B, C$ таких, что все они связаны одним и тем же видом транспорта.
обсуждение
3. Покажите, что для любого треугольника выполняется неравенство $\frac{3\sqrt{3}}{2}\ge \sin(3A) + \sin(3B) + \sin (3C) \ge -2.$ Когда достигается равенство?
обсуждение
4. Дан выпуклый $n$-угольник. Каждая его вершина соединена с точкой $P,$ не лежащей в его плоскости. Смежные вершины $A, B, C$, вместе с точкой $P,$ определяют плоскости $PAB$ и $PBC$. Рассмотрим угол между этими плоскостями. Сумма $n$ таких углов равна сумме $n$ углов многоугольника. Покажите, что $n=3$.
обсуждение
5. Покажите, что для всех положительных действительных чисел $x$ выполняется неравенство $[nx] \ge \sum_{1}^{n} \left( \frac{[kx]}{k} \right)$
обсуждение
-
-
16.05.2020 в 18:111. В партии состоят 1982 человека. Известно, что среди любой группы из четырех человек есть по крайней мере один, который знает каждого из трех других. Чему равно минимальное количество членов партии, которые знают всех остальных?
обсуждение
2. Пусть $S_r = x^r + y^r + z^r$, где $x, y, z$ — действительные числа.
Известно, что если $S_1=0$,
$(*)$ $\frac{S_{m+n}}{m+n} = \frac{S_m}{m} * \frac{S_n}{n}$
для $(m,n)=(2,3),(3,2),(2,5)$ или $(5,2)$. Определите все остальные пары целых чисел $(m,n)$, если они существуют, такие, что $(*)$ выполняется для всех действительных чисел $x,y,z$, таких, что $x+y+z=0$.
обсуждение
3. Пусть точка $A_1$ лежит внутри равностороннего треугольника $ABC$, а точка $A_2$ лежит внутри $\triangle{A_1BC}$. Докажите, что $I.Q. (A_1BC) > I.Q.(A_2BC),$ где I.Q. — изопериметрическое отношение. I.Q. фигуры $F$ определяется как $I.Q.(F) = \frac{Area (F)}{[Perimeter (F)]^2}$
обсуждение
4. Докажите, что существует такое натуральное число `k`, что `k * 2^n + 1` является составным для любого натурального числа `n`.
обсуждение
5. Пусть $A,B$ и $C$ --- внутренние точки сферы $S$ такие, что $AB$ и $AC$ перпендикулярны диаметру $S$, проходящему через $A,$ и пусть можно построить две сферы, проходящие через точки $A$, $B$, и $C$, такие, что они касаются сферы $S$. Докажите, что сумма радиусов двух этих сфер равна радиусу $S$.
обсуждение
-
-
20.09.2020 в 20:181. На данной окружности случайным образом и независимо друг от друга выбираются шесть различных точек $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ и $F.$ Найдите вероятность того, что треугольники $ABC$ и $DEF$ не пересекаются, то есть не имеют общих точек.
обсуждение
2. Докажите, что `x^5 + a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e = 0` не имеет действительных корней при `2*a^2 < 5b.`
обсуждение
3. Каждое множество, принадлежащее конечному набору подмножеств прямой, является объединением двух замкнутых интервалов. Любые три множества этого набора имеют общую точку. Докажите, что найдется точка общая по крайней мере для половины множеств этого набора.
обсуждение
4. На плоскости даны отрезки $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ и $S_6.$ Их длины соответственно равны длинам рёбер $AB, AC, AD, BC, BD$ и $CD$ тетраэдра $ABCD$. Покажите, как построить с помощью циркуля и линейки отрезок, равный высоте тетраэдра, опущенной из вершины $A.$
обсуждение
5. Рассмотрим на числовой прямой интервал длины $1/n,$ где $n$ --- положительное целое число. Докажите, что количество несократимых дробей $p/q$, $1\le q\le n$, принадлежащих этому интервалу, не больше $(n+1)/2$.
обсуждение
-
-
28.11.2020 в 09:231. Произведение двух корней многочлена $x^4 - 18x^3 + kx^2 + 200x - 1984 = 0$ равно $-32.$ Найдите $k.$
обсуждение
2. Средним геометрическим множества, состоящего из $m$ неотрицательных чисел, назовём корень $m$-ой степени из произведения всех его элементов.
(i) Для каких положительных целых чисел $n$ существует множество $S_n,$ состоящее из $n$ различных положительных целых чисел, такое, что среднее геометрическое любого подмножества $S_n$ является целым числом?
(ii) Существует ли бесконечное множество $S$ различных положительных целых чисел такое, что среднее геометрическое любого конечного подмножества $S$ является целым числом?
обсуждение
3. Точки $P$, $A$, $B$, $C$ и $D$ расположены в пространстве и $\angle APB = \angle BPC = \angle CPD = \angle DPA = \theta$, где $\theta$ --- данный острый угол. Найдите наибольшее и наименьшее значение суммы $\angle APC + \angle BPD.$
обсуждение
4. Участникам математического соревнования был предложен тест, состоящий из двух частей, содержащих вместе 28 задач. Каждый участник решил 7 задач. Каждую пару задач решили ровно два участника. Докажите, что среди участников нашелся решивший не менее 4 задач первой части или не решивший ни одной задачи этой части.
обсуждение
5. Дан многочлен $P(x)$ степени $3n$ такой, что P(0) = P(3) = ... = P(3n) = 2, P(1) = P(4) = ... = P(3n-2) = 1, P(2) = P(5) = ... = P(3n-1) = 0 и P(3n+1) = 730. Найдите $n$.
обсуждение
-
-
03.03.2021 в 17:401. Определите, имеет ли целые положительные решения система уравнений
`x_1^2+x_2^2+...+x_{1985}^2=y^3`,
`x_1^3+x_2^3+...+x_{1985}^3=z^2`,
при условии, что $x_1,x_2,\cdots,x_{1985}$ --- различные числа.
обсуждение
2. Найдите все действительные решения уравнения
$x^4 - (2\cdot10^{10}+1)x^2 - x + 10^{20} + 10^{10} - 1=0$
с точностью до четвертого знака после запятой.
обсуждение
3. Точки $A,B,C,D$ выбираются в пространстве так, что длина не более чем одного из отрезков $AB,AC,AD,BC,BD,CD$ превышает 1. Найдите наибольшее возможное значение суммы длин этих отрезков.
обсуждение
4. В вечеринке приняли участие $n$ человек. Докажите, что среди них можно выбрать двоих так, чтобы среди остальных $n-2$ участников нашлись по крайней мере $\lfloor n/2\rfloor -1$ таких, что они либо знают обоих выбранных, либо не знают ни одного из них. Предполагается, отношение знаю является симметричным; $\lfloor x\rfloor$ обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное $x$.
обсуждение
5. Пусть $a_1,a_2,a_3,\cdots$ --- неубывающая последовательность положительных целых чисел. Для каждого $m\ge1$ определим $b_m=\min\{n: a_n \ge m\}$, то есть $b_m$ равно минимальному значению $n$ такому, что $a_n\ge m$. Известно, что $a_{19}=85.$ Найдите наибольшее значение суммы $a_1+a_2+\cdots+a_{19}+b_1+b_2+\cdots+b_{85}.$
обсуждение
-
-
08.06.2021 в 22:491. a) Существуют ли 14 последовательных положительных целых чисел, каждое из которых делится на одно или большее количество простых чисел $p$ из интервала $2\le p \le 11$?
b) Существует ли 21 последовательное положительное целое число, каждое из которых делится на одно или большее количество простых чисел $p$ из интервала $2\le p \le 13$?
обсуждение
2. Как это часто бывает, слушая доклад о вкусной и здоровой пище, каждый из пяти математиков засыпал дважды и каждая пара математиков в какой-то момент спала одновременно. Докажите, что в какой-то момент времени одновременно спали трое.
обсуждение
3. Для какого наименьшего целого числа $n > 1$ среднее квадратичное первых $n$ положительных целых чисел является целым числом?
Примечание. Среднее квадратичное $n$ чисел $a_1, a_2, \cdots, a_n$ это число
$\left[\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}n\right]^{1/2}$
обсуждение
4. На плоскости изображены две разные окружности $K_1$ и $K_2.$ Они пересекаются в точках $A$ и $B$, где $AB$ диаметр $K_1$. Точка $P$ принадлежит $K_2$ и находится внутри $K_1.$
Для построения разрешается использовать только ``T-квадрат'' (то есть инструмент для построения прямой линии через две точки и перпендикуляра к прямой, проходящего через точку, лежащую как на прямой, так и вне её). Постройте точки $C$ и $D$ на окружности $K_1$ такие, что $CD$ перпендикулярна $AB$ и $\angle CPD$ является прямым.
обсуждение
5. Под разбиением $\pi$ целого числа $n\ge 1$ понимается представление $n$ в виде суммы одного или более положительных целых чисел, при условии, что слагаемые идут в неубывающем порядке. (То есть, если $n=4$, то разбиениями $\pi$ являются $1+1+1+1$, $1+1+2$, $1+3, 2+2$ и $4$).
Для произвольного разбиения $\pi$ определим $A(\pi)$ как количество единичных слагаемых в $\pi$, и определим $B(\pi)$ как количество различных слагаемых в $\pi$. (То есть, если $n=13$ и $\pi$ это разбиение $1+1+2+2+2+5$, то $A(\pi)=2$ и $B(\pi) = 3$).
Докажите, что, для любого конкретного $n$ сумма $A(\pi)$ по всем разбиениям $\pi$ числа $n$ равна сумме $B(\pi)$ по всем разбиениям $\pi$ числа $n$.
обсуждение
-
-
04.11.2021 в 09:421. Найдите все решения уравнения $(m^2+n)(m + n^2)= (m - n)^3$, где $m$ и $n$ --- ненулевые целые числа.
обсуждение
2. Основания биссектрис $\Delta ABC$ являются вершинами треугольника с прямым углом $X$, где $AX$ --- биссектриса $\angle A.$ Найдите все возможные значения величины $\angle A.$
обсуждение
3. Пусть $X$ обозначает наименьшее множество, состоящее из многочленов $p(x),$ такое, что:
1. $p(x) = x$ принадлежит $X.$
2. Если $r(x)$ принадлежит $X$, то $x\cdot r(x)$ и $(x+(1-x) \cdot r(x))$ оба принадлежат $X$.
Покажите, что если $r(x)$ и $s(x)$ --- различные элементы $X$, то $r(x) \neq s(x)$ для всех $0 < x < 1.$
обсуждение
4. Пусть $M$ --- середина $XY.$ Точки $P$ и $Q$ лежат на прямой, проходящей через $Y,$ с разных сторон от $Y$ так, что $|XQ| = 2|MP|$ и $\frac{|XY|}2 < |MP| < \frac{3|XY|}2$. Для какого значения $\frac{|PY|}{|QY|}$ длина $|PQ|$ будет минимальной?
обсуждение
5. $a_1, a_2, \cdots, a_n$ --- последовательность 0 и 1. $T$ --- количество троек $(a_i, a_j, a_k),$ где $i < j < k,$ неравных (0, 1, 0) и (1, 0, 1). Пусть для $1\le i\le n$ значение $f(i)$ равно количеству чисел $j < i$ таких, что $a_j = a_i,$ сложенному с количеством чисел $j > i$ таких, что $a_j\neq a_i$. Покажите, что $T=\sum_{i=1}^n f(i) \cdot \left(\frac{f(i)-1}2\right).$
Пусть $n$ --- нечётное число. Чему равно наименьшее значение $T?$
обсуждение
-
-
14.03.2022 в 20:171. Периодическая десятичная дробь $0.ab\cdots k\overline{pq\cdots u}$ равна $m/n,$ где $m$ и $n$ взаимно простые числа, такая, что перед повторяющейся частью есть по крайней мере одна цифра. Покажите, что $n$ делится на 2 или 5 (или на оба эти числа). (Например, $0.011\overline{36}=0.01136363636\cdots=\frac {1}{88}$ и 88 делится на 2.)
обсуждение
2. Многочлен с действительными коэффициентами $x^3+ax^2+bx+c$ имеет три действительных корня $r\ge s\ge t.$ Покажите, что $k=a^2-3b\ge 0$ и $\sqrt k\le r-t$.
обсуждение
3. Пусть $X$ обозначает множество $\{ 1, 2, \cdots, 20\}$ и пусть $P$ будет множеством всех девятиэлементных подмножеств $X.$ Покажите, что для любого отображения $f: P\mapsto X$ найдется десятиэлементное подмножество $Y$ множества $X$ такое, что $f(Y-\{k\})\neq k$ для любого $k$ из $Y$.
обсуждение
4. В треугольнике $ABC$ центром вписанной окружности является точка $I$. Покажите, центры описанных окружностей треугольников $IAB$, $IBC$ и $ICA$ лежат на окружности, центр которой является центром описанной окружности треугольника $ABC$.
обсуждение
5. Пусть $p(x) = (1-x)^a(1-x^2)^b(1-x^3)^c\cdots(1-x^{32})^k$, где $a, b, \cdots, k$ --- целые числа. После приведения многочлена к стандартному виду оказалось, что коэффициент при $x^1$ равен $-2,$ а коэффициенты при $x^2$, $x^3$, ..., $x^{32}$ равны нулю. Найдите $k$.
обсуждение
-
-
30.04.2022 в 20:231. Для каждого положительного целого числа $n$ определим
$S_n = 1 + \frac 12 + \frac 13 + \cdots + \frac 1n$
$T_n = S_1 + S_2 + S_3 + \cdots + S_n$
$U_n = \frac{T_1}{2} + \frac{T_2}{3} + \frac{T_3}{4} + \cdots + \frac{T_n}{n+1}$
Найдите с обоснованием целые числа $0 < a, b, c, d < 1000000$ такие, что $T_{1988} = a S_{1989} - b$ и $U_{1988} = c S_{1989} - d$.
обсуждение
2. 20 членов теннисного клуба запланировали проведение 14 встреч в одиночном разряде так, чтобы каждый член клуба принял участие не менее чем в одной встрече. Докажите, среди запланированных встреч найдутся шесть таких, что в них примут участие 12 различных членов клуба.
обсуждение
3. Пусть $P(z)= z^n + c_1 z^{n-1} + c_2 z^{n-2} + \cdots + c_n$ многочлен с действительными коэффициентами $c_k$ и комплексной переменной $z$. Предположим, что $|P(i)| < 1$. Докажите, что существуют действительные числа $a$ и $b$ такие, что $P(a + bi) = 0$ и $(a^2 + b^2 + 1)^2 < 4 b^2 + 1$.
обсуждение
4. В остроугольном треугольнике $ABC$ длины сторон удовлетворяют неравенствам $AB < AC < BC.$ Точка $I$ --- центр вписанной окружности треугольника $ABC,$ точка $O$ --- центр его описанной окружности. Докажите, что прямая $IO$ пересекает отрезки $AB$ и $BC$.
обсуждение
5. Пусть $u$ и $v$ --- действительные числа такие, что
$(u + u^2 + u^3 + \cdots + u^8) + 10u^9 = (v + v^2 + v^3 + \cdots + v^{10}) + 10v^{11} = 8.$
Определите, какое из двух чисел $u$ или $v$ больше. Ответ обоснуйте.
обсуждение
-
-
08.06.2022 в 17:571. В некотором государстве начали производство регистрационных знаков, состоящих из шести цифр (от 0 до 9). Государство требует, чтобы любые два знака отличались по крайней мере в двух позициях. (Так может использоваться только один из знаков ${027592}$ и ${020592}$.) Определите с обоснованием наибольшее количество регистрационных знаков, которые могут использоваться в этом государстве.
обсуждение
2. Последовательность функций $\{f_n(x)\}$ определяется следующим образом:
$f_1(x) = \sqrt {x^2 + 48},$ и
$f_{n + 1}(x) = \sqrt {x^2 + 6f_n(x)}$ для $n \geq 1.$
(Отметим, что $\sqrt {{}}$ обозначает арифметический корень.) Найдите для всех положительных целых чисел $n$ все действительные решения уравнения $f_n(x) = 2x.$
обсуждение
3. Пусть ожерелье $A$ состоит из 14 бусин, а ожерелье $B$ из 19. Докажите, что для любого нечетного числа $n \geq 1$ можно пронумеровать каждую из 33 бусин так, чтобы по одному разу были использованы все числа
$\{ n, n+1, n+2, \ldots, n+32 \}$
и соседние бусины были пронумерованы взаимно простыми числами. (Здесь ожерелье рассматривается как окружность, на которой каждая бусина имеет двух соседей.)
обсуждение
4. Найдите с обоснованием количество положительных целых чисел таких, что их представление в системе счисления с основанием $n$ состоит из различных цифр и все цифры, за исключением самой левой, отличаются на $\pm 1$ от некоторой цифры, стоящей слева от неё. (Ответ должен быть представлен в виде зависящей от $n$ функции.)
обсуждение
5. Дан остроугольный треугольник $ABC.$ Окружность с диаметром $AB$ пересекает высоту $CC'$ и её продолжение в точках $M$ и $N$, окружность с диаметром $AC$ пересекает высоту $BB'$ и её продолжение в точках $P$ и $Q.$ Докажите, что точки $M, N, P, Q$ лежат на одной окружности.
обсуждение
-
-
22.11.2022 в 19:511. В треугольнике $ABC$ угол $A$ вдвое больше угла $B$, угол $C$ тупой, а длины трех сторон $a, b, c$ являются целыми. Найдите (с доказательством) наименьший возможный периметр треугольника.
обсуждение
2. Для произвольного числового множества $S$ пусть $\sigma(S)$ and $\pi(S)$ обозначают соответственно сумму и произведение элементов $S.$ Докажите, что
$\sum \frac{\sigma(S)}{\pi(S)} = (n^2 + 2n) - \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \right) (n+1),$
где "$\Sigma$" обозначает сумму, вычисляемую по всем непустым подмножествам $S$ множества $\{1,2,3, \ldots,n\}$.
обсуждение
3. Покажите, что для любого данного целого числа $n \geq 1$ последовательность
$2, \; 2^2, \; 2^{2^2}, \; 2^{2^{2^2}},...$ mod(n) начиная с некоторого члена становится постоянной.
Башня степеней определяется следующим образом: $a_1 = 2, \; a_{i+1} = 2^{a_i}$; а $a_i$ mod(n) означает остаток от деления $a_i$ на $n.$
обсуждение
4. Пусть $a =(m^{m+1} + n^{n+1})/(m^m + n^n),$ где $m$ and $n$ --- целые положительные числа. Докажите, что $a^m + a^n \geq m^m + n^n.$
[Вам может пригодиться исследование отношения $(a^N - N^N)/(a-N),$ для действительного $a \geq 0$ и целого $N \geq 1.$]
обсуждение
5. Пусть $D$ --- произвольная точка на стороне $AB$ данного треугольника $ABC$ и пусть $E$ --- внутренняя точка треугольника, в которой $CD$ пересекает общую внешнюю касательную вписанных окружностей треугольников $ACD$ и $BCD.$ Пусть точка $D$ пробегает все точки отрезка между $A$ и $B.$ Докажите, что при этом точка $E$ описывает дугу окружности.
обсуждение
-
-
14.09.2023 в 19:131. Найдите, как функцию от $n,$ сумму цифр значения выражения
$9 \times 99 \times 9999 \times \cdots \times \left( 10^{2^n} - 1 \right),$
где каждый множитель, начиная со второго слева, имеет в два раза больше цифр, чем предыдущий.
обсуждение
2. Докажите, что
$\frac{1}{\cos 0^\circ \cos 1^\circ} + \frac{1}{\cos 1^\circ \cos 2^\circ} + \cdots + \frac{1}{\cos 88^\circ \cos 89^\circ} = \frac{\cos 1^\circ}{\sin^2 1^\circ}.$
обсуждение
3. Для непустого числового множества $S$ пусть $\sigma(S)$ обозначает сумму элементов $S.$ Известно, что $A = \{a_1, a_2, \ldots, a_{11}\}$ состоит из положительных целых чисел и $a_1 < a_2 < \cdots < a_{11}$ и что, для всех положительных чисел $n \le 1500$, существует подмножество $S$ множества $A$, для которого $\sigma(S) = n.$ Чему равно наименьшее возможное значение $a_{10}?$
обсуждение
4. Хорды $AA'$, $BB'$ и $CC'$ сферы пересекаются в её внутренней точке $P$ и не лежат в одной плоскости. Сфера, проходящая через точки $A$, $B$, $C$ и $P,$ касается сферы, проходящей через точки $A'$, $B'$, $C'$ и $P$. Докажите, что $AA'=BB'=CC'$.
обсуждение
5. Многочлен $P(z)$ с комплексными коэффициентами 1992 степени имеет различные нули. Докажите, что существуют комплексные числа $a_1, a_2, \ldots, a_{1992}$ такие, что $P(z)$ делит многочлен
$\left( \cdots \left( (z-a_1)^2 - a_2 \right)^2 \cdots - a_{1991} \right)^2 - a_{1992}.$
обсуждение
-
-
03.11.2023 в 21:441. Для каждого целого числа $n\ge 2$, определите (с доказательством) какое из двух положительных действительных чисел $a$ и $b$ больше, если для них выполняется:
$a^n=a+1,\qquad b^{2n}=b+3a.$
обсуждение
2. Пусть $ABCD$ --- выпуклый четырехугольник такой, что диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$ под прямым углом. Докажите, точки, симметричные точке $E$ относительно прямых $AB$, $BC$, $CD$, $DA,$ лежат на одной окружности.
обсуждение
3. Рассмотрим функции $f : [0, 1] \rightarrow \mathbb{R},$ удовлетворяющие условиям
(i) $f(x)\ge0$ для всех $x$ из $[0, 1]$,
(ii) $f(1) = 1$,
(iii) $f(x) + f(y) \le f(x + y)$ для любых $x$, $y$ таких, что $x + y$ принадлежат $[0, 1]$.
Найдите (с доказательством) наименьшую константу $c$, такую, что $f(x) \le cx$ для любой функции $f$, удовлетворяющей (i)-(iii), и для любого $x$ из $[0, 1]$.
обсуждение
4. Пусть $a$ и $b$ --- нечетные положительные целые числа. Определим последовательность $(f_n)$, полагая, что $f_1 = a$, $f_2 = b$, а $f_n$ для $n\ge3$ --- наибольший нечетный делитель $f_{n-1} + f_{n-2}$. Покажите, что значение $f_n$ равно некоторой константе при достаточно больших $n$ и найдите эту константу как функцию от $a$ и $b$.
обсуждение
5. Пусть $a_0, a_1, a_2,\cdots$ --- последовательность положительных действительных чисел, удовлетворяющая условию $a_{i-1}a_{i+1}\le a^2_i$ для $i = 1, 2, 3,\cdots .$ (Такая последовательность называется логарифмически вогнутой.) Покажите, что для всех $n > 1$ выполняется
$\frac{a_0+\cdots+a_n}{n+1}\cdot \frac{a_1+\cdots+a_{n-1}}{n-1}\ge \frac{a_0+\cdots+a_{n-1}}{n}\cdot \frac{a_1+\cdots+a_{n}}{n}.$
обсуждение
-
-
11.01.2024 в 19:201. Пусть $k_1 < k_2 < k_3 < \cdots$ --- положительные целые числа, никакие два из которых не являются последовательными, и пусть $s_m = k_1 + k_2 + \cdots + k_m$ для $m = 1, 2, 3, \ldots$. Докажите, что, для всех положительных целых чисел $n,$ интервал $[s_n, s_{n+1}),$ содержит по крайней мере один квадрат целого числа.
обсуждение
2. Стороны $99$-угольника сначала покрасили так, что последовательные стороны окрашены в красный, синий, красный, ..., красный, синий, желтый цвет. Выполняется последовательность изменения цвета сторон, по одной стороне за раз. Стороны окрашиваются в красный, синий или желтый цвет при условии, что никакие две смежные стороны не будут иметь одинаковый цвет. Может ли после выполнения подобных перекрашиваний получиться так, что последовательные стороны будут окрашены в красный, синий, красный, ..., красный, желтый, синий цвет?
обсуждение
3. Выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность, $AB=CD=EF,$ диагонали $AD,BE$ и $CF$ проходят через одну точку. Пусть $P$ --- точка пересечения $AD$ и $CE.$ Докажите, что $\frac{CP}{PE}=\left(\frac{AC}{CE}\right)^2.$
обсуждение
4. Последовательность положительных действительных чисел $a_1, a_2, a_3, \ldots$ удовлетворяет неравенству $\sum_{j = 1}^n a_j \geq \sqrt {n}$ для всех $n \geq 1.$ Докажите, что для всех $n \geq 1$
$\sum_{j = 1}^n a_j^2 > \frac {1}{4} \left( 1 + \frac {1}{2} + \cdots + \frac {1}{n} \right).$
обсуждение
5. Пусть $|U|, \sigma(U)$ и $\pi(U)$ обозначают соответственно количество, сумму и произведение элементов конечного множества положительных целых чисел $U.$ (Если $U$ является пустым множеством, то считаем что $|U| = 0, \sigma(U) = 0, \pi(U) = 1.$) Пусть $S$ --- конечное множество положительных целых чисел. Как обычно, пусть $C_n^k$ обозначает $\frac{n!}{k! \, (n-k)!}.$ Докажите, что
$\sum_{U \subseteq S} (-1)^{|U|} C_{m - \sigma(U)}^{|S|} = \pi(S)$
для всех целых чисел $m \geq \sigma(S).$
обсуждение
-
-
17.03.2024 в 21:041. Пусть $p$ --- нечётное простое число. О последовательности $(a_n)_{n \geq 0}$ известно, что $a_0 = 0,$ $a_1 = 1,$ \ldots, $a_{p-2} = p-2$ и что, для всех $n \geq p-1,$ $a_n$ --- наименьшее положительное целое число, не образующее арифметическую прогрессию длины $p$ с любыми предыдущими членами последовательности. Докажите, что, для всех $n,$ $a_n$ --- число, получаемое при записи $n$ в системе счисления с основанием $p-1$ и чтением результата в системе счисления с основанием $p.$
обсуждение
2. У триголятора есть только кнопки $\sin,$ $\cos,$ $\tan,$ $\sin^{-1},$ $\cos^{-1},$ и $\tan^{-1}.$ На дисплее изначально отображается число 0. Дано положительное рациональное число $q.$ Покажите, что с помощью конечного количества нажатий на кнопки можно получить $q$ на дисплее. Предполагается, что все вычисления выполняются точно и все функции вычисляются для аргументов, выраженных в радианах.
обсуждение
3. Дан неравнобедренный, непрямоугольный треугольник $ABC.$ Пусть $O$ обозначает центр описанной окружности и пусть $A_1, \, B_1,$ и $C_1$ будут соответственно серединами сторон $BC, \, CA$ и $AB.$ Точка $A_2$ лежит на луче $OA_1,$ причем $\triangle OAA_1$ подобен $\triangle OA_2A$. Аналогично задаются точки $B_2$ и $C_2,$ которые соответственно лежат на лучах $OB_1$ и $OC_1.$ Докажите, что прямые $AA_2, \, BB_2$ и $CC_2$ проходят через одну точку.
обсуждение
4. Последовательность $q_1,q_2,\ldots,$ состоящая из целых чисел, удовлетворяет двум условиям:
(a) $m - n$ делит $q_m - q_n$ при $m>n \geq 0$
(b) Существует многочлен $P$ такой, что $|q_n| < P(n)$ для всех $n.$
Докажите, что существует многочлен $Q$ такой, что $q_n = Q(n)$ для всех $n.$
обсуждение
5. Предположим, что о каждой паре людей из некоторого сообщества можно сказать, что она состоит из друзей или врагов. Каждый член дружественной пары дружит с другим членом этой пары, а каждый член враждебной пары враждует с другим членом этой пары. Рассмотрим сообщество из $n$ людей, в котором $q$ пар друзей и в котором в любой группе, состоящей из трех членов сообщества, есть по крайней мере одна пара врагов. Докажите, что есть по крайней мере один член сообщества такой, что среди его врагов есть $\, q(1 - 4q/n^2)$ или меньше пар друзей.
обсуждение
-
-
05.05.2024 в 19:131. Докажите, что среднее арифметическое чисел $n\sin n^{\circ}\; (n = 2,4,6,\ldots,180)$ равно $ctg 1^\circ$.
обсуждение
2. Для непустого множества действительных чисел $S$ пусть $\sigma(S)$ обозначает сумму элементов $S$. Дано множество $A,$ состоящее из $n$ положительных целых чисел. Рассмотрим набор всех различных $\sigma(S),$ получающихся при их вычислении для всех $S,$ являющихся непустыми подмножествами $A$. Докажите, что этот набор сумм может быть разбит на $n$ классов так, что в каждом классе отношение большей суммы к меньшей не превосходит 2.
обсуждение
3. Дан треугольник $ABC.$ Докажите, что найдётся прямая $l$ (в плоскости треугольника $ABC$) такая, что площадь пересечения треугольника $ABC$ и треугольника $A'B'C',$ симметричного $ABC$ относительно $l,$ составляет более чем $\frac{2}{3}$ площади треугольника $ABC$.
обсуждение
4. В $n$-элементной последовательности $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ каждый элемент равен 0 или 1. Назовем такую последовательность бинарной последовательностью длины $n$. Пусть $a_n$ равно равно количеству бинарных последовательностей длины $n,$ не содержащих трёх последовательных членов равных 0, 1, 0 (в этом порядке). Пусть $b_n$ равно количеству бинарных последовательностей длины $n,$ не содержащих четырёх последовательных членов равных 0, 0, 1, 1 или 1, 1, 0, 0 (в этом порядке). Докажите, что $b_{n+1} = 2a_n$ для всех положительных целых чисел $n.$
обсуждение
5. Дан треугольник $ABC.$ Его внутренняя точка $M$ выбрана так, что $\angle MAB=10^\circ,$ $\angle MBA=20^\circ,$ $\angle MAC= 40^\circ$ и $\angle MCA=30^\circ.$ Докажите, что треугольник является равнобедренным.
обсуждение
6. Определите (с доказательством) существует ли подмножество $X$ множества целых чисел, имеющее следующее свойство: для любого целого числа $n$ найдется ровно одно решение уравнения $a + 2b = n$ такое, что $a,b \in X$.
обсуждение
-
-
24.08.2024 в 01:011. Простые числа $p_1,p_2,p_3,\ldots$ пронумерованы в порядке возрастания. Пусть действительное число $x_0$ принадлежит интервалу $(0, 1).$ Для положительного целого числа $k$ определим $x_{k}=0,$ если $x_{k-1}=0$ и $x_{k}= \left\{\frac{p_{k}}{x_{k-1}}\right\},$ если $x_{k-1}\ne0,$ где $\{x\}$ обозначает дробную часть $x.$ (Дробная часть числа $x$ определяется как $x-\lfloor{x}\rfloor,$ где $\lfloor{x}\rfloor$ --- наибольшее целое число меньшее или равное $x$.) Найдите все $x_0,$ удовлетворяющие неравенствам $0 < x_0 < 1,$ для которых члены последовательности $x_0, x_1, x_2, \ldots$ начиная с некоторого номера становятся равными $0.$
обсуждение
2. Дан треугольник $ABC.$ Точки $D, E, F$ лежат соответственно на срединных перпендикулярах к $BC, CA, AB.$ Покажите, что прямые, проходящие через $A, B, C$ и перпендикулярные соответственно $EF, FD, DE,$ проходят через одну точку.
обсуждение
3. Докажите, что для любого целого числа $n$ существует уникальный многочлен $Q(x)$ с коэффициентами, принадлежащими множеству $\{0,1,\ldots,9\},$ такой, что $Q(-2)=Q(-5)=n.$
обсуждение
4. Под обрезанием выпуклого $n$-угольника будем понимать выбор пары смежных сторон $AB, BC$ и замены из на отрезки $AM, MN,$ и $NC,$ где $M$ --- середина $AB$ и $N$ --- середина $BC.$ Другими словами, мы отрезаем треугольник $MBN$ для получения выпуклого $(n+1)$-угольника. Правильный шестиугольник $P_6$ площади $1$ обрезается для получения семиугольника $P_7.$ Далее $P_7$ снова обрезается (одним из семи возможных способов) и получается восьмиугольник $P_8,$ et cetera. Докажите, что, вне зависимости от выбора вариантов обрезания, площадь $P_n$ больше $\frac{1}{3}$ для всех $n\ge6$.
обсуждение
5. Докажите, что для всех положительных действительных чисел $a, b, c,$
$(a^3+b^3+abc)^{-1} + (b^3+c^3+abc)^{-1} + (a^3+c^3+abc)^{-1} \le (abc)^{-1}.$
обсуждение
6. Пусть последовательность неотрицательных целых чисел $a_1,a_2,\ldots,a_{1997}$ удовлетворяет неравенствам
$a_i+a_j \le a_{i+j} \le a_i+a_j+1$
для всех $i, j \ge 1,$ где $i+j \le 1997.$ Покажите, что существует действительное число $x$ такое, что $a_n=\lfloor{nx}\rfloor$ (наибольшее целое число $\le nx$) для всех $1 \le n \le 1997$.
обсуждение
-
-
13.02.2025 в 21:061. Предположим, что множество $\{1,2,\cdots, 1998\}$ может быть разбито на непересекающиеся множества $\{a_i,b_i\}$ ($1\leq i\leq 999$) так, что для всех $i$ значение выражения $|a_i-b_i|$ равно 1 или 6. Докажите, что сумма
$|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots +|a_{999}-b_{999}|$
оканчивается цифрой 9.
обсуждение
2. Даны концентрические окружности $C_1$ и $C_2,$ причем $C_2$ расположена внутри $C_1.$ Из точки $A$ окружности $C_1$ проведена касательная $AB$ к $C_2$ ($B\in C_2$). Пусть $C$ --- вторая точка пересечения $AB$ и $C_1$ и пусть $D$ --- середина $AB$. Прямая, проходящая через $A$ пересекает $C_2$ в точках $E$ и $F$ так, что срединные перпендикуляры к $DE$ и $CF$ пересекаются в точке $M,$ лежащей на $AB$. Найдите отношение $AM/MC.$
обсуждение
3. Даны действительные числа $a_0,\cdots a_n,$ принадлежащие интервалу $\left(0,\frac {\pi}{2}\right).$ Пусть
$\tan{\left(a_0 - \frac {\pi}{4}\right)} + \tan{\left(a_1 - \frac {\pi}{4}\right)} + \cdots + \tan{\left(a_n - \frac {\pi}{4}\right)}\ge n - 1$
Докажите, что
$\tan{\left(a_0\right)}\tan{\left(a_1\right)}\cdots \tan{\left(a_n\right)}\ge n^{n + 1}.$
обсуждение
4.
5.
6.