Вероятность

[wpoms.]

Из вершин правильного `(2n + 1)` - угольника случайным образом выбираются три вершины. Считая выборы всех троек равновероятными, найдите вероятность того, что центр данного многоугольника лежит внутри треугольника, определяемого тремя выбранными точками.

@темы: Теория вероятностей, Комбинаторика

Comments

[Гость]

Общее число возможных вариантов - сочетание из (2n+1) по 3:
N=(2n-1)*n*(2n+1)/3

Выберем вершину Ai, проведем из нее биссектрису и через центр многоугольника - перпендикуляр к ней.
Рассмотрим 2 варианта:
1) n - нечетное
2) n - четное

1) По другую сторону перпендикуляра от вершины Ai окажется n+1 вершина
2) По другую сторону перпендикуляра от вершины Ai окажется n вершин
В любом случае, по другую сторону перпендикуляра от Ai окажется четное число вершин - половина с одной стороны биссектрисы, половина - с другой.

Чтобы получить "нужный" треугольник с вершиной Ai выберем две вершины по другую сторону перпендикуляра, но по разные стороны от биссектрисы. Число таких вариантов:
1) ((n+1)/2)^2
2) (n/2)^2

Чтобы получить все "нужные" треугольники, надо в качестве Ai перебрать все (2n+1) вершины. Т.е. число благоприятных вариантов равно:
1) M=(n+1)^2*(2n+1)/4
2) M=n^2*(2n+1)/4

Искомая вероятность:
1) p=(3/4)*(n+1)^2/n/(2n-1)
2) p=(3/4)*n/(2n-1)

[sexstant]

Задача сводится к следующей. Рассмотри треугольники с вершинами 0, i, и j. Считая выборы всех двоек равновероятными, найдите вероятность того, что центр данного многоугольника лежит внутри треугольника, определяемого двумя выбранными точками.