14:06 

Последовательности

wpoms.
Step by step ...


Пусть `{X_n}` и `{Y_n}` — две целочисленные последовательности, такие, что:
`X_0=1`, `X_1=1`, `X_{n+1}=X_n+2X_{n-1}` `(n=1,2,3,...),`
`Y_0=1`, `Y_1=7`, `Y_{n+1}=2Y_n+3Y_{n-1}` `(n=1,2,3,...)`.
То есть, первые несколько их членов таковы:
`X:1, 1, 3, 5, 11, 21, ...`,
`Y:1, 7, 17, 55, 161, 487, ...`.
Докажите, что эти последовательности не имеют общих членов, кроме 1.




@темы: Теория чисел

Комментарии
2018-11-30 в 18:27 

X - это последовательность Якобсталя, (2^k - (-1)^k)/3.
Y мне раньше не встречалась, но рекуррента решается еще проще, получается 2*3^n - (-1)^n.
Так что проще всего ответить на вопросы о несовпадении можно отдельным сравнением четных и нечетных.
Нечетные члены X и Y: 2*3^{n+1} + 3 не равно 2^k + 1, потому что единственными решениями уравнения 3^m-2^k=-1 являются m=1, k=2, не подходит чётность.
Нечетный член X не равен чётному члену Y: аналогично, уравнение 3^m-2^k=2 не может иметь решений кроме m=1, k=0. (вот тут всё подходит, получается единица, это и есть единственное совпадение)
Четный член X не равен нечётному члену Y: аналогично, уравнение 3^m-2^k=-2 не имеет решений по чётности
Четный член X не равен чётному члену Y: аналогично, уравнение 3^m-2^k=1 не имеет решений, кроме m=2,k=3 и m=1, k=1. Оба не годятся по чётности.

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная