НОД и НОК

[wpoms.]

Записи вида `(a,b,...,g)` и `[a,b,...,g]` обозначают соответственно наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное положительных целых чисел `a,b,...,g`. Например, `(3,6,18)=3` и `[6,15]=30`. Докажите, что `([a,b,c]^2)/([a,b][b,c][c,a]) = ((a,b,c)^2)/((a,b)(b,c)(c,a)).`

@темы: Теория чисел

Comments

[Гость]

Решил, используя тот факт, что в НОД простой делитель имеет min из его показателей в каноническом разложении каждого из чисел, а в НОК - max

Любой простой множитель (входящий в состав хотя бы одного из чисел) в `([a,b,c]^2)/([a,b][b,c][c,a]) имеет степень 2max(r,s,t)-max(r,s)-max(s,t)-max(r,t), а в правой ((a,b,c)^2)/((a,b)(b,c)(c,a)) - 2min(r,s,t)-min(r,s)-min(s,t)-min(r,t), где r, s, t - это показатели простого множителя в числах a, b, c.

Далее, покажем, что для любых (в нашем случае целых неотрицательных, но в общем случае для любых действительных) чисел r, s, t выполняется равенство
2max(r,s,t)-max(r,s)-max(s,t)-max(r,t)=2min(r,s,t)-min(r,s)-min(s,t)-min(r,t)
Это тождество легко доказать, если считать, рассмотреть частных случай, когда r<=s<=t. Все другие случаи сводятся к указанному подходящие заменой переменных в силу симметрии выражений, стоящих по обе стороны от знака равенства.

Каждое из чисел a, b, c имеет конечный набор простых множителей (по основной теореме арифметики). Объединение этих трех наборов будет также конечным.

Перебирая таким образом все найденные простые числа получим конечный набор равенств вида:
p^(2max(r,s,t)-max(r,s)-max(s,t)-max(r,t))=p^(2min(r,s,t)-min(r,s)-min(s,t)-min(r,t)).
Умножая левые части друг на друга и правые части друг на друга получим равные произведения. Причем, произведение слева представляет собой каноническое разложение исходной левой части ([a,b,c]^2)/([a,b][b,c][c,a]). Соответственно, произведение справа - ((a,b,c)^2)/((a,b)(b,c)(c,a)).
Стало быть, ([a,b,c]^2)/([a,b][b,c][c,a]) = ((a,b,c)^2)/((a,b)(b,c)(c,a)).
QED.