среда, 30 мая 2012
19:29

Математическая олимпиада Аргентины

все записи пользователя в сообществе mpl


Летом этого года запланировано проведение 53 международной математической олимпиады в курортном городке Мар-дель-Плата, Аргентина.

Мар-дель-Плата

Логотип и гимн олимпиады

The IMO song
Coral version

Vocal version

Music: Estela Ojeda - Lyrics: Lidia Roisman


Аргентина

Система образования Аргентины

Математическая олимпиада Аргентины для учащихся средней школы.

Условия OMA 2011 г.

Благодарю за помощь при переводе части условий Диану Шипилову и Дилетант. Если ошибки в условиях задач и остались, то только в тех, в которых я постарался обойтись без их помощи. Благодарю Дилетант и за помощь в оформлении топика. Спасибо.






@темы: Образование, Про самолеты, Олимпиадные задачи, Новости

URL
Комментарии
30.05.2012 в 20:13

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Спасибо! Очень интересно.
URL
30.05.2012 в 20:39

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Познавательно...
URL
30.05.2012 в 20:41

Диана Шипилова
Quod erat demonstrandum
Очень интересный и познавательный пост :white:
URL
30.05.2012 в 21:05

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Очень интересный и познавательный пост
Да, я узнала много нового в процессе!
:white:
URL
21.03.2013 в 22:01

wpoms
Step by step ...
29º Olimpíada Matemática Argentina 2012

Certamen Nacional.

URL
21.03.2013 в 22:17

wpoms
Step by step ...
Primer Nivel


Problema 1
a) Можно ли разделить квадрат со стороной 1 на 30 прямоугольников периметром 2?
b) Пусть квадрат со стороной $1$ разделен на $25$ прямоугольников периметра $p$. Найти минимальное и максимальное значения $p$.
Предупреждение: Прямоугольники не обязательно равны.
Обсуждение

Problema 2
Есть $100$ металлических, неотличимых друг от друга, шаров, среди которых $50$ шаров радиоактивны. Также имеются три детектора. Для каждой группы шаров детектор определяет наличие в группе радиоактивных шаров. Известно, что один детектор всегда дает правильный ответ, другой всегда дает неправильный ответ, а третий иногда реагирует должным образом, а иногда и неправильно, но не известно, какой из детекторов что делает. Предложите процедуру, позволяющую с уверенностью найти $50$ радиоактивных шаров. Детекторы могут быть использованы как угодно часто и для групп из любого количества шаров.
Обсуждение

Problema 3
Дан треугольник $ABC$ и центр его описанной окружности $O$. Луч $AO$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Пусть $OD=BD=1$ и $CD=1+\sqrt{2}$. Вычислите величины углов треугольника.
Справка: Центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, называется центр окружности, проходящей через точки $A$, $B$, $C$. Это точка пересечения срединных перпендикуляров треугольника.
Обсуждение

Problema 4
На доске написано несколько натуральных чисел меньших, чем $200$, такие, что никто из них не делит наименьшее общее кратное других. Определить максимальное количество чисел, которые можно записать на доске.
Справка: Наименьшее общее кратное набора чисел равно произведению всех простых множителей, как общих, так и уникальных для некоторых чисел, возведенных в наибольшую степень.
Обсуждение

Problema 5
На некотором острове насчитывается 50 клубов. Каждый житель острова является членом одного или двух клубов. Каждый клуб имеет не более 55 членов, и для любых двух клубов есть житель острова, который является состоит в каждом из этих двух клубов. Сколько людей может жить на острове? Укажите все возможности.
Обсуждение

Problema 6
Для упаковки товара могут быть использованы два вида пакетов, рассчитанные на 11 кг или 12 кг товара. Упаковали партию товара общим весом 5940 кг. Известно, что использовались пакеты по 12 кг, но никто не знает, сколько пакетов каждого вида было использовано. Покажите, что все эти пакеты могут быть разделены на 11 групп равного веса.
Обсуждение
URL
21.03.2013 в 22:22

wpoms
Step by step ...
Segundo Nivel


Problema 1
Пусть S(x) — сумма цифр натурального числа x. Найти наименьшее натуральное n, такое, что 9S(n) = 16S(2n).
Обсуждение

Problema 2
В турнире по футболу между n командами (n ≥ 4) каждая пара команд играла друг с другом ровно один раз. В итоговой таблице очки, набранные командами, представляют собой n последовательных чисел. Найти максимально возможное значение количества очков у команды-победителя. (Победа приносит 3 очка, ничья — 1 очко, поражение — 0 очков.)
Обсуждение

Problema 3
Дан треугольник ABC с углами `/_A=105^@`, `/_B=45^@`. На стороне BC лежит точка L, такая, что AL — биссектриса `/_BAC`, а точка M — середина AC. P — точка пересечения AL и BM. Вычислите отношение `(AP)/(AL)`.
Обсуждение

Problema 4
2012 камней разделены на несколько кучек, допустимым ходом в игре является объединение двух кучек в одну, если количество камней в новой кучке меньше или равно 51.
Два игрока, А и Б по очереди, делают ходы, начинает A. Первоначально каждый камень лежит отдельно. Проигрывает тот игрок, который не сможет сделать ход. Определите, какой из игроков имеет выигрышную стратегию и дайте описание этой стратегии.
Обсуждение

Problema 5
Пусть натуральное число n имеет ровно 120 натуральных делителей (включая 1 и n). Для каждого делителя числа n, обозначим его d, q - неполное частное и r - остаток от деления 4n-3 на d. Пусть Q - сумма всех неполных частных q и R - сумма остатков r от деления 4n-3 на d. Найдите Q-4R, в ответе укажите все возможные значения.
Пояснение: Пусть даны два натуральных чисел a и b, тогда q является неполным частным и r остатком от деления a на b, если q и r целые числа, a = qb + r, `0 le r b`. Например, если a = 4261, b = 7, то `4261 = 7 * 608 +5`, где q = 608 - неполное частное и r = 5 - остаток.
Обсуждение

Problema 6
2k фишек расположены в один ряд. За один ход разрешается поменять местами две соседние фишки. За какое наименьшее количество ходов можно добиться того, чтобы каждая фишка побывала на первом и последнем месте?
Обсуждение
URL
21.03.2013 в 22:27

wpoms
Step by step ...
Tercer Nivel


Problema 1
Определите, существуют ли тройки действительных чисел (x, y, z), которые являются решением системы:
x+y+z=7, xy+yz+zx=11.

Если да, то найдите минимальное и максимальное значение z в таких тройках.
Обсуждение ...

Problema 2
Найдите все натуральные числа n, для которых существуют 2n различных натуральных числа `x_1,..,x_n,y_1,...,y_n`, для которых произведение
`(11x_1^2+12y_1^2)(11x_2^2+12y_2^2)...(11x_n^2+12y_n^2)`

является полным квадратом.
Обсуждение ...

Problema 3
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB и АС в D и E, соответственно. Прямая DE пересекает окружность описанную около треугольника в точках P и Q, P принадлежит меньшей `smileAB` и `Q` принадлежит меньшей `smileAC`. Известно, что P является серединой `smileAB`. Найдите `/_ A` и величину `(PQ) / (BC)`.
Обсуждение ...

Problema 4
Для каждого натурального числа n определим `a_n` как наибольший квадрат натурального числа, меньший или равный n, и `b_n` как наименьший квадрат натурального числа, который больше n. Например, `a_9=3^2`, `b_9=4^2`, `a_20=4^2`, `b_20=5^2`.
Вычислите сумму из 600 слагаемых
`1/(a_1b_1) + 1/(a_2b_2) + ... + 1/(a_600b_600)`.

Обсуждение ...

Problema 5
Дана конечная последовательность с членами из множества A={0, 1, 2, ... , 121}, разрешено заменять любой её член на число из множества A таким образом, чтобы одинаковые члены последовательности заменялись одинаковыми числами, а разные — разными. (Можно оставлять члены последовательности без замены.) Цель — получить из данной последовательности с помощью некоторого числа таких замен новую последовательность, чья сумма делилась бы на 121. Доказать, что возможно достичь цели при любой начальной последовательности.
Обсуждение ...

Problema 6
В каждой единичной ячейке квадрата 2012x2012 стоит человек, который может быть либо честным человеком, который всегда говорит правду, или лжецом, который всегда лжет. Каждый человек делает одно и то же заявление: "В моей шеренге стоит столько же лжецов, сколько их стоит в моей колонне." Определить минимальное количество честных людей, которые могут находиться в этом квадрате.
Обсуждение ...
URL
01.10.2017 в 20:29

wpoms.
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
33 олимпиада, 2016 г., Финальный (национальный) этап

Первый уровень

1. В баскетболе коэффициентом эффективности игрока называют отношение заброшенных со штрафных мячей к общему количеству выполненных штрафных бросков. В конце первой половины игры коэффициент эффективности Метью был меньше 3/4, в в конце игры больше 3/4.
Можно ли с уверенностью утверждать, что в некоторый момент времени его коэффициент эффективности был равен точно 3/4? Ответьте на тот же вопрос для 3/5 вместо 3/4.
обсуждение

2. Имеются 100 бесконечно вместительных коробок, в каждой из которых лежит по одной фишке. Бруно может добавить в каждую коробку так много фишек, сколько пожелает. После этого начинает выполняться последовательность шагов.
На шаге 1 в каждую коробку добавляется по одной фишке.
На шаге 2 фишка добавляется в те коробки, в которых содержится чётное количество фишек.
На шаге 3 фишка добавляется в те коробки, количество фишек в которых делится на 3.
На шаге 4 фишка добавляется в те коробки, количество фишек в которых делится на 4.
И так далее.
Целью Бруно было добиться того, чтобы на каждом шаге можно было найти две коробки с разным количеством фишек.
Определите, может ли Бруно достичь своей цели при каком-либо добавлении фишек до начала выполнения описанной последовательности шагов.
обсуждение

3. Пусть $ABC$ --- прямоугольный треугольник и $C = 90^\circ.$ Точки $D$ и $E$ выбраны на гипотенузе AB так, что $AD = AC$ и $BE = BC.$ Точки $P$ и $Q$ лежат на $AC$ и $BC$ соответственно, при этом, $AP = AE$ и $BQ = BD.$ Пусть $M$ --- середина отрезка $PQ.$
Покажите, что $M$ --- точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$ и найдите величину угла $AMB.$
обсуждение

4. В каждую клетку доски $17 \times 17$ нужно вписать одно из натуральных чисел от 1 до $n$ включительно так, чтобы все эти числа были использованы (они могут повторяться).
Если в одном ряду есть две клетки $A$ и $B$ с одним и тем же числом $k$ и $A$ расположена левее $B,$ то в одной колонке с клеткой $A$ и выше неё не должно быть клеток с числом $k.$
Определите минимальное значение $n$ и покажите доску с записанными числами, удовлетворяющую этим условиям.
обсуждение

5. Рассмотрим сто чисел - 199, $199^2,$ $199^3,$ $199^4,$ ..., $199^{100}.$ Для каждого из них вычисляется сумма их цифр.
Определите минимальное из 100 вычисленных значений.
обсуждение

6. Алекс и Биби играют в игру. Алекс выбирает натуральное число $k$ меньшее или равное 1000. Затем Биби составляет коллекцию $B,$ содержащую более $k$ целых чисел из диапазона от 0 до 1000 включительно, числа в коллекции могут повторятся. После этого Алекс многократно применяет к $B$ такую операцию: он выбирает $k$ чисел из $B$ и меняет их. Каждое выбранное число $b$ он заменяет на число $b+1,$ если $b$ меньше $1000,$ и заменяет $b$ на 0, если $b = 1000.$ Алекс выигрывает, если после выполнения нескольких операций все числа в коллекции $B$ станут равными 0, если он не сможет добиться этого результата, то выиграет Биби. Найдите все $k$ такие, что Алекс сможет гарантированно выиграть, вне зависимости от выбора Биби чисел для коллекции.
обсуждение

Второй уровень

1. Юлиан пишет в клетки доски размером $1\times100$ все целые числа от 1 до 100 включительно в некотором порядке, без повторений. Из каждых трех последовательных клеток он отмечает клетку, в которой записано среднее по величине число из трёх чисел, записанных в этих клетках. Например, если в трёх клетках записаны числа 7, 99 и 22, то он отметит клетку с числом 22. Пусть $S$ будет суммой чисел в отмеченных клетках. Найдите минимальное значение, которое может принимать $S.$
Пояснение. Каждое число из отмеченных клеток суммируется однократно, но клетки могут отмечаться более одного раза.
обсуждение

2. Точка $D$ на стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ выбрана так, что $AD = AC.$ Пусть $P$ и $Q$ будут, соответственно, основаниями перпендикуляров, опущенных из $C$ и $D$ на сторону $AB.$ Известно, что $AP^2 + 3BP^2 = AQ^2 + 3BQ^2$.
Найдите величину угла $ABC.$
обсуждение

3. Ник хочет написать вокруг окружности 100 целых чисел от 1 до 100 в некотором порядке без повторений так, чтобы они удовлетворяли условию: сумма 100 расстояний при движении по часовой стрелке между каждым числом и следующим за ним в направлении обхода равна 198. Определите, сколькими способами Ник может упорядочить эти 100 чисел для достижения своей цели?
Пояснение: Расстоянием между числами $a$ и $b$ называется $|a-b|.$
обсуждение

4. Есть доска с $n$ рядами и 12 колонками. В каждой клетке написаны 1 или 0. Доска обладает такими свойствами:
A) Любые два ряда различны.
B) В каждом ряду есть ровно 4 клетки с 1.
C) Для любых 3 рядов есть колонка, на пересечении которой с этими рядами стоят три 0.
Найдите наибольшее $n,$ для которого существует доска с указанными выше свойствами.
обсуждение

5. Для каждой пары $a,$ $b$ взаимно простых натуральных чисел определим $d_{a,b}$ как наибольший общий делитель $51a + b$ и $a + 51b.$ Найдите наибольшее возможное значение $d_{a,b}.$
Пояснение: $a$ и $b$ являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.
обсуждение

6. На окружности отмечены 999 точек, которые делят ее на 999 дуг единичной длины. Необходимо разместить на этой окружности $d$ дуг длиной 1, 2, \ldots, $d$ так, чтобы каждая дуга начиналась и оканчивалась в отмеченных точках и никакая из этих $d$ дуг не содержалась в любой другой из этих $d$ дуг. Найдите все значения $d$, для которых возможно получить описанную конструкцию.
Пояснение: Две дуги могут иметь одну или более общих точек.
обсуждение

Третий уровень

1. Найдите арифметическую прогрессию из 2016 членов, каждый член которой не является превосходной степенью натурального числа, но произведение всех членов которой является.
Пояснение: Превосходной степенью натурального числа называется число, которое можно представить в виде $n^k,$ где $n$ и $k$ натуральные числа большие или равные 2.
обсуждение

2. Пусть $m\geq3$ --- целое число и $S(m) = 1 + 1/3 + \ldots + 1/m$ (дробь 1/2 не входит в сумму, а дроби $1/k$ --- входят для всех $k$ от 3 до $m$). Пусть $n\geq 3$ и $k\geq3.$ Сравните $S(nk)$ и $S(n) + S(k).$
обсуждение

3. Августин и Лукас по очереди помечают квадраты на доске размером $101\times101$ квадратов. Августин начинает игру. Нельзя помечать квадрат, если в том же ряду или столбце уже помечены два квадрата. Тот, кто не может пометить квадрат, проигрывает. Кто имеет выигрышную стратегию?
обсуждение

4. Найдите углы выпуклого четырехугольника $ABCD$ такого, что $\angle ABD = 29^\circ,$ $\angle ADB = 41^\circ,$ $\angle ACB = 82^\circ$ и $\angle ACD = 58^\circ.$
обсуждение

5. $a$ и $b$ --- рациональные числа такие, что $a + b = a^2 + b^2.$ Допустим, что $s = a + b = a^2 + b^2$ не целое и запишем его в виде несократимой дроби: $s = m/n.$ Пусть $p$ будет наименьшим простым делителем $n.$ Найдите наименьшее значение $p$.
обсуждение

6. Пусть $AB$ --- отрезок длины 1. Несколько частиц начинают двигаться одновременно с постоянными скоростями от $A$ к $B.$ Как только частица достигает $B,$ она поворачивается и продолжает движение в направлении $A.$ Когда она достигает $A,$ она начинает двигаться к $B,$ и так далее до бесконечности.
Найдите все рациональные числа $r>1$ такие, что существует момент времени $t$, про который известно, что для каждого $n\geq1,$ если $n+1$ частица движется с постоянными скоростями 1, $r,$ $r^2,$ \ldots, $r^n$ так как это описано выше, то в некоторый момент времени $t$ все они будут находиться в одной внутренней точке отрезка $AB.$
обсуждение
URL