19:29 

Летом этого года запланировано проведение 53 международной математической олимпиады в курортном городке Мар-дель-Плата, Аргентина.

Мар-дель-Плата

Логотип и гимн олимпиады

The IMO song
Coral version

Vocal version

Music: Estela Ojeda - Lyrics: Lidia Roisman


Аргентина

Система образования Аргентины

Математическая олимпиада Аргентины для учащихся средней школы.

Условия OMA 2011 г.

Благодарю за помощь при переводе части условий Диану Шипилову и Дилетант. Если ошибки в условиях задач и остались, то только в тех, в которых я постарался обойтись без их помощи. Благодарю Дилетант и за помощь в оформлении топика. Спасибо.

@темы: Новости, Образование, Олимпиадные задачи, Про самолеты

Комментарии
2012-05-30 в 20:13 

Белый и пушистый (иногда)
Спасибо! Очень интересно.

2012-05-30 в 20:39 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Познавательно...

2012-05-30 в 20:41 

Диана Шипилова
Quod erat demonstrandum
Очень интересный и познавательный пост :white:

2012-05-30 в 21:05 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Очень интересный и познавательный пост
Да, я узнала много нового в процессе!
:white:

2013-03-21 в 22:01 

wpoms
Step by step ...
29º Olimpíada Matemática Argentina 2012

Certamen Nacional.

2013-03-21 в 22:17 

wpoms
Step by step ...
Primer Nivel


Problema 1
a) Можно ли разделить квадрат со стороной 1 на 30 прямоугольников периметром 2?
b) Пусть квадрат со стороной $1$ разделен на $25$ прямоугольников периметра $p$. Найти минимальное и максимальное значения $p$.
Предупреждение: Прямоугольники не обязательно равны.
Обсуждение

Problema 2
Есть $100$ металлических, неотличимых друг от друга, шаров, среди которых $50$ шаров радиоактивны. Также имеются три детектора. Для каждой группы шаров детектор определяет наличие в группе радиоактивных шаров. Известно, что один детектор всегда дает правильный ответ, другой всегда дает неправильный ответ, а третий иногда реагирует должным образом, а иногда и неправильно, но не известно, какой из детекторов что делает. Предложите процедуру, позволяющую с уверенностью найти $50$ радиоактивных шаров. Детекторы могут быть использованы как угодно часто и для групп из любого количества шаров.
Обсуждение

Problema 3
Дан треугольник $ABC$ и центр его описанной окружности $O$. Луч $AO$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Пусть $OD=BD=1$ и $CD=1+\sqrt{2}$. Вычислите величины углов треугольника.
Справка: Центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, называется центр окружности, проходящей через точки $A$, $B$, $C$. Это точка пересечения срединных перпендикуляров треугольника.
Обсуждение

Problema 4
На доске написано несколько натуральных чисел меньших, чем $200$, такие, что никто из них не делит наименьшее общее кратное других. Определить максимальное количество чисел, которые можно записать на доске.
Справка: Наименьшее общее кратное набора чисел равно произведению всех простых множителей, как общих, так и уникальных для некоторых чисел, возведенных в наибольшую степень.
Обсуждение

Problema 5
На некотором острове насчитывается 50 клубов. Каждый житель острова является членом одного или двух клубов. Каждый клуб имеет не более 55 членов, и для любых двух клубов есть житель острова, который является состоит в каждом из этих двух клубов. Сколько людей может жить на острове? Укажите все возможности.
Обсуждение

Problema 6
Для упаковки товара могут быть использованы два вида пакетов, рассчитанные на 11 кг или 12 кг товара. Упаковали партию товара общим весом 5940 кг. Известно, что использовались пакеты по 12 кг, но никто не знает, сколько пакетов каждого вида было использовано. Покажите, что все эти пакеты могут быть разделены на 11 групп равного веса.
Обсуждение

2013-03-21 в 22:22 

wpoms
Step by step ...
Segundo Nivel


Problema 1
Пусть S(x) — сумма цифр натурального числа x. Найти наименьшее натуральное n, такое, что 9S(n) = 16S(2n).
Обсуждение

Problema 2
В турнире по футболу между n командами (n ≥ 4) каждая пара команд играла друг с другом ровно один раз. В итоговой таблице очки, набранные командами, представляют собой n последовательных чисел. Найти максимально возможное значение количества очков у команды-победителя. (Победа приносит 3 очка, ничья — 1 очко, поражение — 0 очков.)
Обсуждение

Problema 3
Дан треугольник ABC с углами `/_A=105^@`, `/_B=45^@`. На стороне BC лежит точка L, такая, что AL — биссектриса `/_BAC`, а точка M — середина AC. P — точка пересечения AL и BM. Вычислите отношение `(AP)/(AL)`.
Обсуждение

Problema 4
2012 камней разделены на несколько кучек, допустимым ходом в игре является объединение двух кучек в одну, если количество камней в новой кучке меньше или равно 51.
Два игрока, А и Б по очереди, делают ходы, начинает A. Первоначально каждый камень лежит отдельно. Проигрывает тот игрок, который не сможет сделать ход. Определите, какой из игроков имеет выигрышную стратегию и дайте описание этой стратегии.
Обсуждение

Problema 5
Пусть натуральное число n имеет ровно 120 натуральных делителей (включая 1 и n). Для каждого делителя числа n, обозначим его d, q - неполное частное и r - остаток от деления 4n-3 на d. Пусть Q - сумма всех неполных частных q и R - сумма остатков r от деления 4n-3 на d. Найдите Q-4R, в ответе укажите все возможные значения.
Пояснение: Пусть даны два натуральных чисел a и b, тогда q является неполным частным и r остатком от деления a на b, если q и r целые числа, a = qb + r, `0 le r b`. Например, если a = 4261, b = 7, то `4261 = 7 * 608 +5`, где q = 608 - неполное частное и r = 5 - остаток.
Обсуждение

Problema 6
2k фишек расположены в один ряд. За один ход разрешается поменять местами две соседние фишки. За какое наименьшее количество ходов можно добиться того, чтобы каждая фишка побывала на первом и последнем месте?
Обсуждение

2013-03-21 в 22:27 

wpoms
Step by step ...
Tercer Nivel


Problema 1
Определите, существуют ли тройки действительных чисел (x, y, z), которые являются решением системы:
x+y+z=7, xy+yz+zx=11.

Если да, то найдите минимальное и максимальное значение z в таких тройках.
Обсуждение ...

Problema 2
Найдите все натуральные числа n, для которых существуют 2n различных натуральных числа `x_1,..,x_n,y_1,...,y_n`, для которых произведение
`(11x_1^2+12y_1^2)(11x_2^2+12y_2^2)...(11x_n^2+12y_n^2)`

является полным квадратом.
Обсуждение ...

Problema 3
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB и АС в D и E, соответственно. Прямая DE пересекает окружность описанную около треугольника в точках P и Q, P принадлежит меньшей `smileAB` и `Q` принадлежит меньшей `smileAC`. Известно, что P является серединой `smileAB`. Найдите `/_ A` и величину `(PQ) / (BC)`.
Обсуждение ...

Problema 4
Для каждого натурального числа n определим `a_n` как наибольший квадрат натурального числа, меньший или равный n, и `b_n` как наименьший квадрат натурального числа, который больше n. Например, `a_9=3^2`, `b_9=4^2`, `a_20=4^2`, `b_20=5^2`.
Вычислите сумму из 600 слагаемых
`1/(a_1b_1) + 1/(a_2b_2) + ... + 1/(a_600b_600)`.

Обсуждение ...

Problema 5
Дана конечная последовательность с членами из множества A={0, 1, 2, ... , 121}, разрешено заменять любой её член на число из множества A таким образом, чтобы одинаковые члены последовательности заменялись одинаковыми числами, а разные — разными. (Можно оставлять члены последовательности без замены.) Цель — получить из данной последовательности с помощью некоторого числа таких замен новую последовательность, чья сумма делилась бы на 121. Доказать, что возможно достичь цели при любой начальной последовательности.
Обсуждение ...

Problema 6
В каждой единичной ячейке квадрата 2012x2012 стоит человек, который может быть либо честным человеком, который всегда говорит правду, или лжецом, который всегда лжет. Каждый человек делает одно и то же заявление: "В моей шеренге стоит столько же лжецов, сколько их стоит в моей колонне." Определить минимальное количество честных людей, которые могут находиться в этом квадрате.
Обсуждение ...

2017-10-01 в 20:29 

wpoms.
Step by step ...
33 олимпиада, 2016 г., Финальный (национальный) этап

Первый уровень

1. В баскетболе коэффициентом эффективности игрока называют отношение заброшенных со штрафных мячей к общему количеству выполненных штрафных бросков. В конце первой половины игры коэффициент эффективности Метью был меньше 3/4, в в конце игры больше 3/4.
Можно ли с уверенностью утверждать, что в некоторый момент времени его коэффициент эффективности был равен точно 3/4? Ответьте на тот же вопрос для 3/5 вместо 3/4.
обсуждение

2. Имеются 100 бесконечно вместительных коробок, в каждой из которых лежит по одной фишке. Бруно может добавить в каждую коробку так много фишек, сколько пожелает. После этого начинает выполняться последовательность шагов.
На шаге 1 в каждую коробку добавляется по одной фишке.
На шаге 2 фишка добавляется в те коробки, в которых содержится чётное количество фишек.
На шаге 3 фишка добавляется в те коробки, количество фишек в которых делится на 3.
На шаге 4 фишка добавляется в те коробки, количество фишек в которых делится на 4.
И так далее.
Целью Бруно было добиться того, чтобы на каждом шаге можно было найти две коробки с разным количеством фишек.
Определите, может ли Бруно достичь своей цели при каком-либо добавлении фишек до начала выполнения описанной последовательности шагов.
обсуждение

3. Пусть $ABC$ --- прямоугольный треугольник и $C = 90^\circ.$ Точки $D$ и $E$ выбраны на гипотенузе AB так, что $AD = AC$ и $BE = BC.$ Точки $P$ и $Q$ лежат на $AC$ и $BC$ соответственно, при этом, $AP = AE$ и $BQ = BD.$ Пусть $M$ --- середина отрезка $PQ.$
Покажите, что $M$ --- точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$ и найдите величину угла $AMB.$
обсуждение

4.

5.

6.

Второй уровень

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Третий уровень

1.

2.

3.

4.

5.

6.

2017-10-01 в 20:39 


URL
   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная