Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
| Найдите все натуральные числа n, для которых существуют 2n различных натуральных числа `x_1, ... ,x_n, y_1, ... ,y_n`, для которых произведение `(11*x_1^2+ 12*y_1^2)*(11*x_2^2 + 12*y_2^2)*...*(11*x_n^2 + 12*y_n^2)` является полным квадратом. |  |
-
-
12.03.2013 в 20:13Возьмём два произвольных числа `x_1, y_1` и выберем вторую пару в виде `x_2 = 12*y_1, \ \ y_2 = 11*x_1`...
Тогда `(11*x_1^2 + 12*y_1^2)*(11*x_2^2 + 12*y_2^2) = 11*12*(11*x_1^2 + 12*y_1^2)^2`...
Повторив тоже самое с `x_3, x_4, y_3, y_4`, получим `(11*x_1^2 + 12*y_1^2)*(11*x_2^2 + 12*y_2^2) *(11*x_3^2 + 12*y_3^2)*(11*x_4^2 + 12*y_4^2) = 11^2*12^2*(11*x_1^2 + 12*y_1^2)^2 * (11*x_3^2 + 12*y_3^2)^2`...
То есть с для любых четырёх скобок это пригодно... а неравенство чисел достигается выбором достаточно больших значений следующей пары...
А вот для остальных значений `n`... пока не знаю...
-
-
14.03.2013 в 16:48Для `n = 2`, пусть `x_1 != y_1` — произвольные числа, а `x_2 =m*x_1, y_2 = m*y_1`, причем `m` выбрано таким, чтобы все числа `x_1,\ x_2,\ y_1,\ y_2` были различны.
Тогда,
`(11x_1^2 + 12y_1^2) (11x_2^2 + 12y_2^2) = m^2 (11x_1^2 + 12y_1^2)^2`.
Соответственно для любого четного `n` условие выполнено.
-
-
14.03.2013 в 17:24Если показать, что хотя бы одна скобка будет полным квадратом, то тогда вообще для любого `n` получится...
-
-
14.03.2013 в 17:50Пусть `x_1 != y_1`, `11x_1^2 + 12y_1^2 = p^2`, причем пара `x_1,\ y_1` имеет наименьшую сумму из всех возможных.
Тогда `(11x_1^2 + 12y_1^2) \text{mod} 3 = p^2 \text{mod} 3 => 2x_1^2 \text{mod} 3 = p^2 \text{mod} 3`. Тогда `p^2 \text{mod} 3 = 0` и `x_1^2 \text{mod} 3 = 0`. Значит, число `11x_1^2 + 12y_1^2` делится на 9, и, так как `x_1^2 \text{mod} 9 = 0`, то `12 y_1^2 \text{mod}9 = 0`. Но тогда `y_1` делится на 3, и пара `x_1/3 != y_1/3` удовлетворяет условию `11(x_1/3)^2 + 12(y_1/3)^2 = (p/3)^2`, но имеет сумму, меньшую суммы исходного набора.