23:19 

Сумма чисел

wpoms.
Step by step ...
Для каждого натурального числа n определим `a_n` как наибольший квадрат натурального числа, меньший или равный `n`, и `b_n` как наименьший квадрат натурального числа, который больше `n`. Например, `a_9 = 3^2`, `b_9 = 4^2`, `a_{20} = 4^2`, `b_{20} = 5^2`.
Вычислите сумму из 600 слагаемых
`1/(a_1*b_1) + 1/(a_2*b_2) + ... + 1/(a_{600}*b_{600})`.


@темы: Теория чисел

Комментарии
2013-03-15 в 23:54 

Ну, сообразите, сколько именно раз встречается выражение, равное 1/(a_8*b_8) например. И как упростить сумму всех выражений, которые ему равны.

2013-03-16 в 07:47 

Adjirranirr
Только дурак нуждается в порядке — гений господствует над хаосом.
Пусть `k(n) = \sum_{i = 1}^n \frac {1}{a_i * b_i} `. Тогда, `AA n:\ k((n+1)^2 - 1) - k(n^2 - 1) = \sum_{i = n^2}^{(n + 1)^2 - 1} \frac {1}{a_i * b_i} = \frac {2n + 1}{n^2 (n + 1)^2}`
Тогда `k ((n + 1)^2 - 1) = \frac {2n + 1} {n^2 (n+1)^2} + k(n^2 - 1) = \sum_{i = 1}^{n} \frac {2i + 1} {i^2 (i + 1)^2} + k(0) = \sum_{i = 1}^{n} \frac {i^2 + 2i + 1 - i^2} {i^2 (i + 1)^2} = 1 - (\frac {1}{n+1})^2`

Тогда `k(600) = k(575) + \sum_{i = 24^2}^{600} \frac {1}{24^2 *25^2} = 1 - \frac {1} {24^2} + \frac {1} {25*24^2} = 1 - \frac {1} {25 * 24} = \frac{599}{600}`

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная