Система уравнений

[wpoms.]

Определите, существуют ли тройки действительных чисел `(x, y, z)`, которые являются решением системы `{(x + y + z = 7), (x*y + y*z + z*x = 11):}` . Если да, то найдите минимальное и максимальное значение z в таких тройках.

@темы: Системы НЕлинейных уравнений

Comments

[Adjirranirr]

Из первого уравнения следует `x + y = 7 - z`, из второго — `xy = 11 - z(x + y)`. Объединяя, получим `xy = 11 - z (7 - z)`, или `xyz = 11z - 7z^2 + z^3`.
Рассмотрим многочлен `P(t) = (t - x) (t - y) (t - z) = t^3 - (x + y + z) t^2 + (xy + yz + xz) t - xyz = t^3 - 7t^2 + 11t - (z^3 - 7z^2 + 11z)`. Тогда, `P(t) = (t - z) (t^2 + (z - 7) t + (z^2 - 7z + 11))` имеет 3 действительных корня, когда дискриминант многочлена `t^2 + (z - 7) t + (z^2 - 7z + 11)` неотрицателен. Значит, `-3z^2 + 14 z + 5 >= 0 <=> -(3z + 1) (z - 5) >= 0 <=> z \in [-1/3;\ 5]`. Таким образом, решения системы существуют при `-1/3 <= z <= 5`.