В партии состоят 1982 человека. Известно, что среди любой группы из четырех человек есть по крайней мере один, который знает каждого из трех других. Чему равно минимальное количество членов партии, которые знают всех остальных? |  |
На листе бумаги написана система уравнений $x^2\ ?\ z^2 = -8,$ $y^2\ ?\ z^2 = 7,$ но два символа размыты. Известно, что система имеет хотя бы одно решение и вместо знаков вопроса были написаны или + или -. Что было написано на листке? |  |
Дан вписанный в окружность четырёхугольник $ABCD.$ Прямая $l_1,$ параллельная $BC,$ проходит через $A$ и прямая $l_2,$ параллельная $AD,$ проходит через $B.$ Прямая $DC$ пересекает $l_1$ и $l_2$ соответственно в точках $E$ и $F.$ Перпендикуляр к $l_1$ в точке $A$ пересекает $BC$ в $P$, перпендикуляр к $l_2$ в точке $B$ пересекает $AD$ в $Q.$ Окружности $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ описывают соответственно треугольники $ADE$ и $BFC.$ Покажите, что $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ касаются в том и только том случае, когда прямая $DP$ перпендикулярна $CQ.$ |  |
В таблицу $n \times n$ записаны строка за строкой, сверху вниз, по порядку слева направо, числа от 1 до $n^2.$ За одну операцию можно взять два числа, написанных в имеющих общую сторону ячейках таблицы, прибавить (или отнять) к ним одно и тоже целое число и записать результаты в таблицу. На рисунке показано применение двух операций к таблице $4 \times 4$: вычитания 7 и прибавления 5 к выделенным цветом ячейкам.  Определите, для каких $n$ возможно получить во всех ячейках таблицы число 0 после применения необходимого количества описанных выше операций и определите, если это возможно, наименьшее количество требуемых для достижения результата операций. | |
Скажем, что неотрицательное целое число $n$ "содержит" другое неотрицательное целое число $m,$ если цифры десятичной записи последнего последовательно присутствуют в десятичной записи числа $n.$ Например, число 2016 содержит числа 2, 0, 1, 6, 20, 16, 201 и 2016. Найдите наибольшее целое число $n,$ не содержащее ни одного кратного числа 7. | |
Найдите наименьшее действительное число $x,$ удовлетворяющее условиям: $[x] < [x^2] < [x^3] < ... < [x^n] < [x^{n+1}] < \ldots$ Замечание: Число $[x]$ является целой частью числа $x,$ если оно наибольшее целое число, удовлетворяющее условию $[x] \leq x < [x]+1.$ | |
Пару целых положительных чисел $m, n$ назовем воинственной, если существуют целые положительные числа $a, b, c, d$ такие, что $m = ab,$ $n = cd$ и $a + b = c + d.$ Например, пара 8, 9 является воинственной, так как $8 = 4 \cdot 2,$ $9 = 3 \cdot 3$ и $4 + 2 = 3 + 3.$ Будем окрашивать положительные целые числа следующим образом: - Начнём окрашивание с чисел 3 и 5. - Далее, если любое положительное целое число еще не покрашено, но оно входит в одну из уже окрашенных воинственных пар, то мы его красим. И так далее. Найдите все целые положительные числа, которые в конечном счете будут окрашены. | |
Покажите, что для всех положительных действительных чисел $x$ выполняется неравенство $[nx] \ge \sum\limits_{1}^{n} \left( \frac{[kx]}{k} \right)$. | |
