Доказать эквивалентность норм

[MisteryS]

Пусть Ω в R^n - открытое множество, `1<=p<=`infinite``, l -натуральное.
Функция `f` принадлежит пространству Соболева, если `f` принадлежит пространству измеримых функций, и обобщенная производна выполнена при `|alpha|=l` и норма в пространстве Соболева определена как сумма норы `f` и обобщенной функции в пространстве измеримых функций (см. фото)

Нужно доказать, что эта норма эквивалентна нормам (2) и (3) - смотри фото.

Любые мои попытки оценить норму, не приводят к нормальному результату. ВОзможно, здесь надо применить какие-то известные неравенства для оценки нормы. Но не вижу ничего подходящего...

@темы: Функциональный анализ

Comments

[All_ex]

кстати, а область ограничена?
ведь если функция принадлежит `L_{oo}(0; +oo)` то она не обязана принадлежать `L_p(0; +oo)`... или я что-то путаю?...

[MisteryS]

All_ex, про область сказали только то, что гамма - открытое множество. У меня вроде бы получилось сделать оценку сверху. А вот с оценкой снизу прям беда. Скажите, что не так? Модуль всё портит(((

[MisteryS]

All_ex, наверно, делать оценку вот так сразу нельзя....да?

[All_ex]

MisteryS, что гамма - открытое множество
ну, вообще-то это не гамма, а омега...

я пока не вдумывался в проблему... (надо лезть в книжку, так как многое подзабыто)...
и честно говоря, я не большой любитель общих обозначений...

попробуйте для начала сформулировать Ваши действия для функции одной переменной и первой производной... то есть имеем `f` и `f'`... и так далее...

а я присоединюсь немного попозже...

[MisteryS]

All_ex, ой, Ахахах, да, омега)
Я так и делаю - пробую сделать для первой производной. Но вот модуль мешает в конце мне🙈🙈🙈🙈

[All_ex]

MisteryS, Я так и делаю - пробую сделать для первой производной
напишите, что надо доказать... и что получается в этом случае... а там посмотрим...

[MisteryS]

All_ex, На данный момент пытаюсь доказать случай при `p` равном бесконечности. На фото я написала, что нужно доказать двойное неравенство.
Пробовала сделать оценку, но ничего толкового не выходит. Я вообще не пойму, как от суммы супремумов можно перейти к максимуму между функциями. Куда деть плюс между супремумами....
Прям безысходность((

[All_ex]

что-то чем больше смотрю на условие, тем меньше понимаю смысл Ваших действий..

У Вас есть пространство $W_p^l$ с нормой (1).
весьма очевидно, что эта норма эквивалентна (2) при любом конечном $p$...
Но норма (3) дана в другом пространстве... есть теоремы вложения, которые работают в одну сторону.. то есть двустороннее неравенство Вы тут и не получите...

[All_ex]

есть гипотеза, что задание выглядит немного по другому... то есть в норме (3) стоит не бесконечность, а тоже $p$..
если это так, то задача сводится к вопросу об "эквивалентности норм в $\mathbb{R}^{l+1}$"...

[MisteryS]

All_ex, Здравствуйте! Это снова я. В общем, задание, оказывается, звучало иначе.
На фото ниже я переписала заново условие и что нам дано. Я уточнила у преподавателя....надо доказать неравенство 2 с помощью неравенства 3. Только я смысла в этом не пойму....
Теперь задание мне кажется еще менее логичным...

[All_ex]

Это как раз и была моя догадка про нормы в $\mathbb{R}^n$... Это и есть Ваше неравенство (3)...

Норма (1) и норма (2) связаны между собой так, как написано в неравенстве (3)... То есть работает прямая ссылка на неравенстве, и всё...

[MisteryS]

All_ex, Вот так? Правильно ли я сумму обобщенных производных расписала? С первой же производной должно начинаться....или с нулевой?
Только вот как теперь неравенство (3) применить для случая, когда р - бесконечность... Максимумы меня сбивают(((

[MisteryS]

All_ex, для случая, когда р - бесконечность годится такое обоснование? Или можно как-то доказать через то третье неравенство?

[All_ex]

насколько я понимаю, в Ваших нормах присутствуют только старшие производные... поскольку суммирование производится по `|alpha| = l`...
`alpha` - это мультииндекс, который указывает, по какой переменной сколько раз производится дифференцирование...

например, если `f (x_1, x_2, x_3)` и `alpha = (3,1,5)`, то `D^{alpha} f = {partial^{3+1+5} f}/{partial^3 x_1 \ partial x_2 \ partial^5 x_3}` ...

если суммирование производилось по `|alpha| le l`, то там бы складывались все производные младших порядков тоже...

Например, для функции `f(x;y)` норма (1) в пространстве `W_2^2` имеет вид `||f|| + ||f_{x x}|| + ||f_{xy}|| + ||f_{yy}||`...

В норме (2) все те же слагаемые, только в степени `p`, а их сумма в степени `1/p`... тут и расписывать ничего не надо, просто сказать, что всё выполняется в силу неравенства (3)...

С максимумами ещё проще... очевидно, что `max(||a||; ||b||; ||c||) le ||a|| + ||b|| + ||c|| le 3 * max(||a||; ||b||; ||c||)` ... в общем случае вместо тройки стоит "1 + число производных(соответствующих значению мультииндекса)"...

[All_ex]

для случая, когда р - бесконечность годится такое обоснование?
годится... я слишком долго писал ответ... )))

[MisteryS]

All_ex, Извините, еще вас потерроризирую)
Я тут заметила, что неравенство (3) доказывает не совсем то, что надо было доказать в самом начале. Нормы поменялись местами....
Или это не имеет значения?

[All_ex]

MisteryS, Если `C_1 * A < B < C_2 * A` с положительными константами `C_1` и `C_2`, то очевидно, что `1/{C_2} * B < A < 1/{C_1} * B` ...

[MisteryS]

All_ex, гениально! Знаете, вы очень умный человек! Спасибо Вам за помощь!!

[All_ex]

MisteryS, Знаете, вы очень умный человек!
будем надеяться, что это так...

Спасибо Вам за помощь!!
welcome...