XVII Жаутыковская олимпиада

[wpoms.]

1. Докажите, что при некотором натуральном $n$ остаток от деления $3^n$ на $2^n$ больше $10^{2021}$. ( А. Голованов )

2. Дан выпуклый вписанный шестиугольник $ABCDEF$, в котором $BC=EF$ и $CD=AF$. Диагонали $AC$ и $BF$ пересекаются в точке $Q$, а диагонали $EC$ и $DF$ --- в точке $P$. На отрезках $DF$ и $BF$ отмечены точки $R$ и $S$ соответственно так, что $FR=PD$ и $BQ=FS$. Отрезки $RQ$ и $PS$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что прямая $TC$ делит диагональ $DB$ пополам. ( М. Кунгожин )

3. Дано натуральное число $n\geqslant 2$. У Элвина есть таблица $n\times n$, заполненная вещественными числами (в каждой клетке записано ровно одно число). Назовём ладейным множеством множество из $n$ клеток, расположенных как в $n$ различных столбцах, так и в $n$ различных строках. Предположим, что сумма чисел в клетках любого ладейного множества неотрицательна.
За ход Элвин выбирает строку, столбец, а также вещественное число $a$; к каждому числу в выбранной строке он прибавляет $a$, а из каждого числа в выбранном столбце --- вычитает $a$ (таким образом, число в пересечении строки и столбца не изменяется). Докажите, что Элвин может, сделав несколько ходов, добиться, чтобы все числа в таблице стали неотрицательными. ( И. Богданов )

4. В треугольник $ABC$ вписана окружность радиуса $r$. Окружности с радиусами $r_1,$ $r_2,$ $r_3$ (здесь $r_1,r_2,r_3 < r$) вписаны в углы $A,$ $B,$ $C$ соответственно так, что каждая из них касается вписанной окружности внешним образом. Докажите, что $r_1+r_2+r_3\geqslant r.$ ( Н. Седракян )

5. На вечеринку пришли 99 гостей. Двое ведущих вечеринки, Анна и Боб, играют в следующую игру (ведущие не входят в число гостей). По кругу расставлены 99 стульев; изначально все гости ходят вокруг стульев. Ведущие делают ходы по очереди. За ход ведущий выбирает стоящего гостя и указывает ему свободный стул $c$, на который тот должен сесть; если хотя бы один стул, соседний с $c$, занят, то тот же ведущий велит одному гостю на стуле, соседнем с $c$, встать (если оба стула, соседних с $c$, заняты, ведущий выбирает один из них). Все указания исполняются немедленно. Анна ходит первой; её цель --- добиться, чтобы после какого-то её хода хотя бы $k$ стульев были заняты. При каком наибольшем $k$ Анна может добиться цели, как бы ни действовал Боб? ( И. Богданов )

6. Пусть $P(x)$ --- непостоянный многочлен степени $n$ с рациональными коэффициентами, который нельзя представить в виде произведения двух непостоянных многочленов с рациональными коэффициентами. Докажите, что количество многочленов $Q(x)$ с рациональными коэффициентами, степени, меньшей $n$, таких, что $P(Q(x))$ делится на $P(x)$,
а) конечно;
б) не превосходит $n$. ( А. Голованов )

@темы: Олимпиадные задачи

---

Остаток

[wpoms.]

Карлос разделил 123 на натуральное число $n$ и получил в остатке 17. Какой остаток получится при делении 2016 на $n?$

@темы: Теория чисел

---

ТФКП

[mr1igr]

Помогите кто-нибудь.

@темы: ТФКП

---

Угол

[wpoms.]

Треугольник $ABC$ --- равнобедренный, $AB = AC$ и $\angle BAC = 20^\circ.$ Точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $AC,$ соответственно, таким образом, что $\angle CBE = 50^\circ$ и $\angle BCD = 20^\circ.$ Чему равна величина $\angle DEB?$

@темы: Планиметрия

---

[Артурио]

Добрый вечер. Не могу понять, как подойти к решению 9го номера. Пробовал выразить через косинус высоту и основание, не вышло..

...

@темы: Планиметрия

---

Может у кого есть?

[All_ex]

Геометрия : Учебник для сред. спец. учеб. заведений / Под ред. Г. Н. Яковлева в двух частях, а может и в одной... видимо зависит от года выпуска

Странно, вроде учебник 70-80 годов, а в сети нет. Или я не туда смотрю?

@темы: Поиск книг

---

Математика и информатика будут приоритетными в школах

[All_ex]

В перечне поручений президента РФ Владимира Путина говорится, что в приоритете школьной программы – усовершенствованное преподавание математики и информатики, а все вузовские программы необходимо дополнить изучением технологий искусственного интеллекта в соответствие с требованиями рынка труда.

Кабинету министров поручено до 1 сентября 2021 года обеспечить в следующем учебном году увеличение приема на бюджетные места по специальностям, связанным с искусственным интеллектом, в тех вузах, где число принятых победителей и призеров всероссийской олимпиады и участников международных олимпиад составило не менее половины в этом учебном году, передает ТАСС.

тытыц

@темы: Образование, Новости

---

Ранг матрицы

[Olivia ._.]

С наступившим 2021!

Снова вернулась к матрицам) Подскажите, пожалуйста, как нужно действовать...
Пусть матрица А размера mxn и B размера nxk. Доказать равенство рангов блочных матриц:
rg матрицы
B In
O A
= ранг матрицы
AB O
O In
Вывести из соотношения неравенство Сильвестра: rgAB >= rgA + rgB - n

---

Украшаем ёлочку (хоть и с опозданием)

[wpoms.]

В коробке лежат желтые, синие и красные шары. Если взять из коробки какие-либо 10 шаров, то среди них окажется по крайней мере один мяч каждого цвета. Каково максимальное количество шаров, которые могут лежать в коробке?

@темы: Комбинаторика

---

[wpoms.]

На одном острове жители делятся на честных, которые всегда говорят правду, и лжецов, которые всегда лгут. Однажды встретились трое жителей острова --- Анна, Берта и Клаудия. Анна сказала: ``Трое из нас являются лжецами.'' Берта сказала: ``Трое из нас являются честными''. Клаудия промолчала. Кем является каждая из них?

@темы: Дискретная математика

---

Новый порядок проведения ЕГЭ и ОГЭ: что изменится в 2021 году

[All_ex]

В ходе «Делового завтрака» Рособрнадзор и Минпросвещения объявили сегодня об изменениях порядка проведения ЕГЭ и ОГЭ в 2021 году. Рассказываем, что конкретно сказал Сергей Кравцов, и как это повлияет на учеников выпускных классов.

Что изменится у девятиклассников

- По словам министра просвещения РФ Сергея Кравцова, досрочный период проведения экзаменов для девятиклассников отменён для предотвращения распространения коронавирусной инфекции.
- Основной период итоговой аттестации пройдет с 24 по 28 мая. Резервные сроки будут назначены на июнь. А дополнительный период будет в начале сентября.
- В 2021 году девятиклассники не будут сдавать предметы по выбору. Аттестаты за 9 класс будут выданы ученикам на основании результатов государственной итоговой аттестации только по математике и русскому языку.
- Также Сергей Кравцов допустил проведение итогового собеседования по русскому языку в дистанционном формате. Даты проведения: 10 февраля, 10 марта, 17 мая 2021 года.

Что изменится у одиннадцатиклассников
«Мы понимаем, что для ребят, которые сдают ЕГЭ в 2021 году, это год непростой. В связи с принятыми мерами на фоне эпидемиологической ситуации, мы внесли изменения в правила сдачи экзаменов», — сказал Сергей Кравцов.

- Итоговое сочинение состоится во второй половине апреля.
- Для всех, кто будет сдавать единый государственный экзамен в 2021, досрочный период проведения экзаменов из-за текущей эпидемиологической обстановки отменяется.
- Основной период сдачи единого государственного экзамена назначен на период с 21 мая по 2 июля. Дополнительный период: с 12 по 17 июля.
- Выпускникам, которые не планируют поступать в вузы, вместо ЕГЭ нужно будет сдать государственный выпускной экзамен только по русскому и математике.

«Государственный выпускной экзамен — это не такая строгая форма итоговой аттестации, как ЕГЭ. Это форма контрольной работы, которая проводится в школе», — пояснил Сергей Кравцов.

- Выпускникам, которые планируют поступать в вузы и сдавать ЕГЭ, для получения аттестата нужно будет сдать ЕГЭ только по русскому языку на удовлетворительный результат.
- ЕГЭ по базовой математике в предстоящем году проводиться не будет.
- Медали за особые успехи в учёбе и аттестаты об образовании с отличием теперь будут выдаваться с учетом результатов ЕГЭ:

«Напомню, что в 2020 году аттестаты с отличием можно было получить на основе школьных оценок, без ЕГЭ. И мы сразу увидели взрывной рост количества таких аттестатов, где были все пятерки. Поэтому принято решение: если школьник уверен в себе и идет на медаль „За особые успехи в учении“, то получает аттестат с отличием с учетом результатов ЕГЭ. Но, как правило, такие выпускники поступают в вуз. Поэтому они и сдают Единый государственный экзамен», — подытожил Сергей Кравцов.

тыц

@темы: Образование, Новости

---

Многочлен

[wpoms.]

Дан многочлен $P(x)$ степени $3n$ такой, что P(0) = P(3) = ... = P(3n) = 2, P(1) = P(4) = ... = P(3n-2) = 1, P(2) = P(5) = ... = P(3n-1) = 0 и P(3n+1) = 730. Найдите $n$.

@темы: Теория многочленов

---

Геометрия

[zdarias]

Помогите, пожалуйста, задача, наверное, легкая, но у меня не получается сформулировать решение.
Продолжение отрезка BC, изображенного на рисунке, пересекает плоскость альфа в точке E. Отрезок AD лежит в плоскости альфа. Изобразите отрезки AC и BD и определите их взаимное расположение.

---

Введение в анализ.

[Olivia ._.]

Докажите, что при достаточно большом x>0 имеют место неравенства:
a) ln^1000 x < корень из х

Подскажите, как нужно действовать, думаю тут понадобится О-символика

---

Москва. Окружная олимпиада

[wpoms.]

Этап проводился дистанционно. На ввод ответов отводилось 120 минут.

9 класс

1. Найдите наибольшее пятизначное число, произведение цифр которого равно 120.

2. В течение первого полугодия лентяй Паша заставлял себя решать задачи по математике. Каждый день он решал не более 10 задач, а если в какой-нибудь день он решал больше 7 задач, то следующие два дня он решал не более 5 задач в день. Какое наибольшее количество задач Паша мог решить за 7 подряд идущих дней?

3. Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD,$ $X$ --- середина диагонали $AC.$ Оказалось, что $CD\parallel BX.$ Найдите $AD,$ если известно, что $BX=3,$ $BC=7,$ $CD=6.$

4. Про положительные числа $a, b, c$ известно, что \[ \frac {a+b+c}{a+b-c} = 7,\quad \frac {a+b+c}{a+c-b} = 1{,}75. \]
Чему равняется $\dfrac {a+b+c}{b+c-a}?$

5. Точка $M$ --- середина стороны $BC$ треугольника $ABC,$ в котором $AB=17,$ $AC=30,$ $BC=19.$ На стороне $AB$ как на диаметре построена окружность. На этой окружности выбирается произвольная точка $X.$ Какое минимальное значение может принимать длина отрезка $MX?$

6. Дана белая клетчатая таблица $8\times8.$ В ней 20 клеток покрасили в чёрный цвет. Какое наименьшее количество пар соседних по стороне белых клеток могло остаться?

7. Стороны квадрата $ABCD$ параллельны осям координат, причём $AB$ лежит на оси ординат, а сам квадрат расположен так, как показано на рисунке. Парабола, задаваемая уравнением \[ y = \frac {1}{5}x^2 + ax + b,\] проходит через точки $B$ и $C.$ Кроме этого, вершина этой параболы (точка $E$) лежит на отрезке $AD.$ Найдите сумму корней квадратного трёхчлена, графиком которого является парабола.

8. По кругу стоят 73 ребёнка. Злой Дед Мороз обходит круг по часовой стрелке и раздаёт конфеты. Вначале он выдал первому ребёнку одну конфету, затем 1 ребёнка пропустил, следующему ребёнку выдал одну конфету, затем 2 детей пропустил, следующему ребёнку выдал одну конфету, затем 3 детей пропустил и так далее. Раздав 2020 конфет, он ушёл. Сколько детей так и не получили конфеты?

10 класс

1. На какое наименьшее число клетчатых прямоугольников можно разрезать фигуру на рисунке? (Каждый прямоугольник должен состоять из одной или нескольких клеток фигуры.)

2. Сколько корней имеет уравнение \[ \overbrace{f(f(...f}^{10\text{ раз }f}(x)...)) + \frac {1}{2} = 0, \] где $f(x) = |x|-1?$

3. Антон выписал на доску три натуральных числа: $a,$ $b$ и $c.$ А Ира нарисовала на доске три прямоугольника: $a\times b,$ $a\times c$ и $b\times c.$ Оказалось, что разность площадей какой-то пары прямоугольников равна $1,$ а разность площадей другой пары прямоугольников равна 49. Чему может быть равно $a+b+c?$ Укажите все возможные варианты.

4. Равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ такова, что $\angle ADC = 2\angle CAD = 82^\circ.$ Внутри трапеции выбрана точка $T$ так, что $CT=CD,$ $AT=TD.$ Найдите $\angle TCD.$

5. Целые числа $a$ и $b$ таковы, что у квадратных трёхчленов $x^2+ax+b$ и $x^2+bx+1100$ есть общий корень, являющийся простым числом. Найдите $a.$ Укажите все возможные варианты.

6. На острове живут два племени: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды 80 человек сели за круглый стол, и каждый из них заявил: «Среди 11 человек, сидящих следом за мной по часовой стрелке, есть хотя бы 9 лжецов». Сколько рыцарей сидит за круглым столом? Укажите все возможные варианты.

7. Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB=42$ и $BC=56.$ Окружность, проходящая через точку $B,$ пересекает сторону $AB$ в точке $P,$ сторону $BC$ --- в точке $Q,$ а сторону $AC$ --- в точках $K$ и $L.$ Известно, что $PK=KQ$ и $QL:PL=3:4.$ Найдите $PQ^2.$

8. Два разбойника украли 300 золотых монет. Они решили поделить их следующим образом: первый разбойник кладёт в мешочек несколько монет (возможно, все), а второй разбойник выбирает, кому этот мешочек достанется; затем это действие повторяется ещё несколько раз. Делёж заканчивается, когда

либо все деньги кончились,
либо кому-нибудь досталось 11 мешочков, в этом случае все остальные деньги сразу же достаются другому разбойнику.

Какое наибольшее количество монет может гарантированно получить первый разбойник?

11 класс

1. Учитель написал на доске двузначное число. Каждый из троих ребят сказал по два утверждения.

Андрей: «это число заканчивается на цифру 6» и «это число делится на 7».
Боря: «это число больше 26» и «это число заканчивается на цифру 8».
Саша: «это число делится на 13» и «это число меньше 27».

Известно, что каждый из мальчиков один раз сказал правду и один раз ошибся. Какое число могло быть написано на доске? Укажите все возможные варианты.

2. У Веры есть набор различных по массе гирь, каждая из которых весит целое число грамм. Известно, что самая лёгкая гиря набора весит в 71 раз меньше, чем все остальные гири вместе взятые. Также известно, что две самые лёгкие гири набора вместе весят в 34 раза меньше, чем все остальные гири вместе взятые. Какое наименьшее число грамм может весить самая лёгкая гиря?

3. На координатной плоскости отметили все точки $(x, y)$ такие, что $x$ и $y$ --- целые числа, удовлетворяющие неравенствам $0\le x\le 2$ и $0\le y\le 26.$ Сколько существует прямых, проходящих ровно через 3 отмеченные точки?

4. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $N$ ($M$ лежит на отрезке $AN$). Известно, что $AB=AN,$ $BC=MC.$ Описанные окружности треугольников $ABM$ и $CBN$ пересекаются в точках $B$ и $K.$ Сколько градусов составляет угол $AKC,$ если $\angle ABC = 68^\circ?$

5. В шахматном турнире соревнуются друг с другом команда школьников и команда студентов, в каждой из которых по 15 человек. В течение турнира каждый школьник должен сыграть с каждым студентом ровно один раз, причём каждый день каждый человек должен играть не более одного раза. В некоторый момент турнира организатор заметил, что может составить расписание на следующий день из 15 игр ровно 1 способом, а из 1 игры --- $N$ способами (порядок игр в расписании не важен, важно лишь кто с кем играет). Найдите наибольшее возможное значение $N.$

6. Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD.$ Известно, что $\angle C 57^\circ,$ $\sin \angle A + \sin \angle B = \sqrt{2}$ и $\cos \angle A + \cos \angle B = 2 - sqrt{2}.$ Сколько градусов составляет угол $D?$

7. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^a$ делится на $b^b,$ однако $a$ не делится на $b.$ Найдите наименьшее возможное значение числа $a+b,$ если известно, что число взаимно просто с 210.

8. Внутри тетраэдра $ABCD$ даны точки $X$ и $Y.$ Расстояния от точки $X$ до граней $ABC,$ $ABD,$ $ACD,$ $BCD$ равны 14, 11, 29, 8 соответственно. А расстояния от $Y$ точки до граней $ABC,$ $ABD,$ $ACD,$ $BCD$ равны 15, 13, 25, 11 соответственно. Найдите радиус вписанной сферы тетраэдра $ABCD.$

vos.olimpiada.ru/main/table/tasks/#table

@темы: Олимпиадные задачи

---

Про задачи

[wpoms.]

Участникам математического соревнования был предложен тест, состоящий из двух частей, содержащих вместе 28 задач. Каждый участник решил 7 задач. Каждую пару задач решили ровно два участника. Докажите, что среди участников нашелся решивший не менее 4 задач первой части или не решивший ни одной задачи этой части.

@темы: Дискретная математика

---

ТАСС уполномочен заявить

[All_ex]

Россия вошла в десятку ведущих стран по итогам исследования качества школьного образования

Глава Минпросвещения Сергей Кравцов уточнил, что полученные данные говорят о сохранении российской школы именно в части фундаментальной подготовки

МОСКВА, 8 декабря. /ТАСС/. Россия вошла в десятку ведущих стран по итогам исследования качества школьного математического и естественно-научного образования TIMSS. Об этом сообщил во вторник глава Минпросвещения Сергей Кравцов.

"Мы предварительно посмотрели результаты исследования TIMSS 2019 года. Мы можем однозначно сказать, что лидерские позиции российского школьного образования сохраняются, и мы остаемся по качеству исследования TIMSS в десятке ведущих стран мира", - сказал Кравцов в ходе презентации результатов международного исследования качества школьного математического и естественно-научного образования TIMSS.

Он добавил, что полученные данные говорят о сохранении российской школы именно в части фундаментальной подготовки, без которой невозможно сформировать навыки XXI века - soft skills. Кравцов отметил, что итоги исследования TIMSS за 2019 год позволяют выполнить показатель по вхождению в десятку ведущих стран мира по качеству образования, поставленный президентом страны.

TIMSS - международное исследование качества школьного математического и естественно-научного образования, позволяет сравнить уровень и качество знаний в этих областях учащихся 4-х классов начальной школы и 8-х классов. Оно проводится один раз в четыре года, теперь представлены итоги исследования, которое проводилось в апреле 2019 года. В 2015 году Россия также входила в десятку лучших стран по итогам исследования.

тытыц...

@темы: Образование, Новости

---

Сумма углов

[wpoms.]

Точки $P$, $A$, $B$, $C$ и $D$ расположены в пространстве и $\angle APB = \angle BPC = \angle CPD = \angle DPA = \theta$, где $\theta$ --- данный острый угол. Найдите наибольшее и наименьшее значение суммы $\angle APC + \angle BPD.$

@темы: Стереометрия

---

Помогите пожалуйста!!!!!! дискретная математика

[baev]

.....

@темы: Дискретная математика

---

Помогите пожалуйста!!!!!! дискретная математика

[baev]

(a\b)\c=(a\c)\(b\c)
1)используя определения равенства множеств и операция над множествами
2)с помощью алгебры логики

@темы: Дискретная математика