[wpoms.]

Найдите наименьшее действительное число $x,$ удовлетворяющее условиям: $[x] < [x^2] < [x^3] < ... < [x^n] < [x^{n+1}] < \ldots$ Замечание: Число $[x]$ является целой частью числа $x,$ если оно наибольшее целое число, удовлетворяющее условию $[x] \leq x < [x]+1.$

@темы: Теория чисел

Comments

[All_ex]

Вроде получается доказать, что это `\sqrt[3]{3}`...

[rememberwhen]

sqrt(2) все-таки
x^2 >=2 Возьмем за x = sqrt(2)
Тогда и sqrt(2)^3 - sqrt(2)^2 <1
Ну и вообще рост экспоненциальный, значит будет давать все большее приращение, уже начиная с sqrt(2)^4 - sqrt(2)^3 \/ 2
2 \/ sqrt(2)^3
4 \/ 8
То есть приращение больше 2, а значит любую единицу превысит

[Гость]

Вроде получается доказать, что это `\sqrt[3]{3}`...
Вроде так, но читать решение интереснее, чем сверять ответы. )

[rememberwhen]

=_= хотелось бы почитать \sqrt[3]{3} > sqrt(2) и хотелось бы узнать, где я туплю)

[rememberwhen]

a^n-a^(n-1) > 1 = > a^(n+1) - a^n > a > 1 (если a>1)
Хм... вроде sqrt(2)

[Гость]

$2 = [2] = [\sqrt{2}^2] = [\sqrt{2}^3] = [2,8284...] = 2$

[rememberwhen]

ох, да. высыхают мозги, когда надолго уходишь в программирование ><

[rememberwhen]

Ну, видимо, тут в лоб надо просто проверить, что все степени до того момента, как a^(n+1) - a^n > 2 дадут новую целую часть
а sqrt[3]{3} получается из a^3 >= 3

[All_ex]

естественно, что неравенство из условия означает, что `a^n \ge n`... получаем систему неравенств, решение которой есть `a \ge \sqrt[3]3{3}`...
остаётся проверить, что `x = \sqrt[3]{3}` искомое число...
поскольку `x = \sqrt[3]{3} > \sqrt[n]{n}`, то `x^n > n`, следовательно, `[x^n] \ge n`...
если взять `y < \sqrt[3]{3}`, то `y^3 < 3`...

ну, как-то так...