читать дальшеОлимпиада проводится по такой схеме, сначала в каждом штате проводится несколько этапов испытаний для формирования команды штата, которая и принимает участие в национальном финале.
Соревнование штата делится на два уровня (на примере Baja California):
• Уровень 1 для всех учащихся старшей школы, принимавших участие в соревнованиях школьного уровня, и • Уровень 2 для учащихся последних лет обучения.
Олимпиада штата проводится в несколько этапов: 1 этап • Уровень 1: привлекаются способные школьники уже принимавшие участие в соревнованиях школьного уровня • Уровень 2: проводится для всех школьников соответствующих классов. Все школьники выполняют в своих школах один и тот же двухчасовой тест с выбором ответов. По результатам теста отбирают не более 300 участников второго уровня.
2 этап Для решения пяти задач предоставляется 3 часа. По результатам испытания отбирают 70 лучших, из которых не менее 20 должны быть уровня 1.
3 этап Для решения пяти задач предоставляется 3 часа. По результатам испытания отбирают 25 лучших, из которых не менее 9 должны быть уровня 1.
4 этап Состоит из двух испытаний, решение 3 заданий за 4,5 часа. По результатам испытания отбирают 6 лучших, из которых не менее 1 должны быть уровня 1. Они будут представлять штат в финале национальной олимпиаде.
Финал олимпиады Финал проводится в порядке очередности в одном из штатов республики. Каждый штат имеет право направить команду из 6 школьников и сопровождающего. Команда федерального округа может включать до 10 школьников.
Состязание проходит в два дня, в каждый из которых участникам предлагаются 3 задачи которые нужно решить за 4,5 часа. По результатам испытаний присуждают по крайней мере 16 первых мест, примерно 32 вторых и 48 третьих мест. Также отмечают участников получивших максимальный балл за решение по крайней мере одной из задач.
По результатам финала отбирают 16 школьников, из числа занявших первое место, часть из которых, после очередного отбора, будет представлять страну на международных соревнованиях следующего года (финал проводится в ноябре).
В комментарии - условия национального финала 2011 года
25a Olimpiada Mexicana de Matemáticas, San Luis Potosí Noviembre de 2011
1. Двадцать четыре лампочки располагаются в вершинах правильного двадцатичетырехугольника, двадцать пятая - в его центре. С ними можно выполнять такие операции: ■ Можно взять две вершины, между которыми находится нечетное число других вершин, и изменить состояние состояние лампочек, находящихся в этих двух вершинах и лампочки в центре; ■ Взять три вершины многоугольника, которые образуют равносторонний треугольник, и изменить состояние лампочек, находящихся в этих вершинах, и лампочки в центре. Докажите, что при любой начальной конфигурации лампочек возможно применением конечного числа указанных выше операций достичь конфигурации в которой все лампочки включены.
2. Пусть ABC - остроугольный треугольник вершины которого лежат на окружности C. l - касательная окружности C, проходящая через точку A. Окружность с центром в точке B и радиусом BA пересекает l в точке D и прямую AC в точке E. Докажите, что прямая DE проходит через ортоцентр треугольника ABC. Примечание: ортоцентром треугольника называется точка пересечения его высот.
3. Дано натуральное `n >= 3`. Найдите все решения `(a_1, a_2,..., a_n)` системы:
4. Найдите наименьшее натуральное число такое, что в его десятичной записи используются только две различные цифры и оно делится на все числа от 1 до 9. Пример числа в десятичной записи которого используются только две различные цифры: 2202022002.
5. Сетку размера (`2^n - 1`) х (`2^n + 1`) нужно разделить на прямоугольники со сторонами, лежащими на линиях сетки, состоящей из квадратов 1х1. Площади прямоугольников должны быть равны степеням двойки. Найдите наименьшее количество прямоугольников, на которые можно разделить сетку. Примечание: 1 считается степенью 2, `2^0 = 1`.
6. Пусть `C_1` и `C_2` - окружности разных радиусов, пересекающиеся в точках A и B. C - точка прямой AB такая, что точка B лежит между A и C. Пусть P и Q - точки на окружностях `C_1` и `C_2`соответственно, такие, что CP - касательная `C_1`, CQ - касательная `C_2`, P не находится внутри `C_2`, Q не находится внутри `C_1`. Отрезок PQ пересекает `C_1` еще и в R и `C_2`еще и в S, обе точки не совпадают с точкой B. Прямая CR пересекает `C_1` еще и в точке X, CS пересекает `C_2` в точке Y. Пусть Z - точка на прямой XY. Докажите, что SZ || QX тогда и только тогда, когда PZ || RX.
Очень здорово! Разные национальные олимпиады... Прямо аналог "национальных кухонь" (или кухней?)) Надо теперь выявлять, какая математическая традиция к чему тяготеет.
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
30 Olimpiada -- Concurso Nacional, 2016
1. Окружности $C_1$ и $C_2$ касаются внешним образом в точке $S$ и радиус $C_2$ в три раза больше радиуса $C_1.$ Пусть прямая $l$ касается $C_1$ в точке $P$ и касается $C_2$ в точке $Q,$ точки $P$ и $Q$ отличны от $S.$ Точка $T$ лежит на $C_2$ и $TQ$ --- диаметр $C_2$, точка $R$ лежит на биссектрисе угла $\angle SQT$ и на отрезке $ST.$ Докажите, что $QR = RT.$ обсуждение
2. Пару целых положительных чисел $m, n$ назовем \textit{воинственной} если существуют целые положительные числа $a, b, c, d$ такие, что $m = ab,$ $n = cd$ и $a + b = c + d.$ Например, пара 8, 9 является воинственной, так как $8 = 4 \cdot 2,$ $9 = 3 \cdot 3$ и $4 + 2 = 3 + 3.$ Будем окрашивать положительные целые числа следующим образом: -- Начнём окрашивание с чисел 3 и 5. -- Далее, если любое положительное целое число еще не покрашено, но оно входит в одну из уже окрашенных воинственных пар, то мы его красим. И так далее. Найдите все целые положительные числа, которые в конечном счете будут окрашены. обсуждение
3. Найдите наименьшее действительное число $x,$ удовлетворяющее условиям: $[x] < [x^2] < [x^3] < ... < [x^n] < [x^{n+1}] < \ldots$ Замечание: Число $[x]$ является целой частью числа $x,$ если оно наибольшее целое число, удовлетворяющее условию $[x] \leq x < [x]+1.$ обсуждение
4. Скажем, что неотрицательное целое число $n$ “содержит” другое неотрицательное целое число $m,$ если цифры десятичной записи последнего последовательно присутствуют в десятичной записи числа $n.$ Например, число 2016 содержит числа 2, 0, 1, 6, 20, 16, 201 и 2016. Найдите наибольшее целое число $n,$ не содержащее ни одного кратного числа 7. обсуждение
5. В таблицу $n \times n$ записаны строка за строкой, сверху вниз, по порядку слева направо, числа от 1 до $n^2.$ За одну операцию можно взять два числа, написанных в имеющих общую сторону ячейках таблицы, прибавить (или отнять) к ним одно и тоже целое число и записать результаты в таблицу. На рисунке показано применение двух операций к таблице $4 \times 4$: вычитания 7 и прибавления 5 к выделенным цветом ячейкам.
Определите, для каких $n$ возможно получить во всех ячейках таблицы число 0 после применения необходимого количества описанных выше операций и определите, если это возможно, наименьшее количество требуемых для достижения результата операций. обсуждение
6. Дан вписанный в окружность четырёхугольник $ABCD.$ Прямая $l_1,$ параллельная $BC,$ проходит через $A$ и прямая $l_2,$ параллельная $AD,$ проходит через $B.$ Прямая $DC$ пересекает $l_1$ и $l_2$ соответственно в точках $E$ и $F.$ Перпендикуляр к $l_1$ в точке $A$ пересекает $BC$ в $P$, перпендикуляр к $l_2$ в точке $B$ пересекает $AD$ в $Q.$ Окружности $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ описывают соответственно треугольники $ADE$ и $BFC.$ Покажите, что $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ касаются в том и только том случае, когда прямая $DP$ перпендикулярна $CQ.$ обсуждение
-
-
06.06.2012 в 22:371. Двадцать четыре лампочки располагаются в вершинах правильного двадцатичетырехугольника, двадцать пятая - в его центре. С ними можно выполнять такие операции:
■ Можно взять две вершины, между которыми находится нечетное число других вершин, и изменить состояние состояние лампочек, находящихся в этих двух вершинах и лампочки в центре;
■ Взять три вершины многоугольника, которые образуют равносторонний треугольник, и изменить состояние лампочек, находящихся в этих вершинах, и лампочки в центре.
Докажите, что при любой начальной конфигурации лампочек возможно применением конечного числа указанных выше операций достичь конфигурации в которой все лампочки включены.
2. Пусть ABC - остроугольный треугольник вершины которого лежат на окружности C. l - касательная окружности C, проходящая через точку A. Окружность с центром в точке B и радиусом BA пересекает l в точке D и прямую AC в точке E. Докажите, что прямая DE проходит через ортоцентр треугольника ABC.
Примечание: ортоцентром треугольника называется точка пересечения его высот.
3. Дано натуральное `n >= 3`. Найдите все решения `(a_1, a_2,..., a_n)` системы:
`a_1^2 + a_1 - 1 = a_2`
`a_2^2 + a_2 - 1 = a_3`
.........
`a_{n-1} + a_{n-1} - 1 = a_n`
`a_n^2 + a_n - 1 = a_1`.
4. Найдите наименьшее натуральное число такое, что в его десятичной записи используются только две различные цифры и оно делится на все числа от 1 до 9.
Пример числа в десятичной записи которого используются только две различные цифры: 2202022002.
5. Сетку размера (`2^n - 1`) х (`2^n + 1`) нужно разделить на прямоугольники со сторонами, лежащими на линиях сетки, состоящей из квадратов 1х1. Площади прямоугольников должны быть равны степеням двойки.
Найдите наименьшее количество прямоугольников, на которые можно разделить сетку.
Примечание: 1 считается степенью 2, `2^0 = 1`.
6. Пусть `C_1` и `C_2` - окружности разных радиусов, пересекающиеся в точках A и B. C - точка прямой AB такая, что точка B лежит между A и C. Пусть P и Q - точки на окружностях `C_1` и `C_2`соответственно, такие, что CP - касательная `C_1`, CQ - касательная `C_2`, P не находится внутри `C_2`, Q не находится внутри `C_1`. Отрезок PQ пересекает `C_1` еще и в R и `C_2`еще и в S, обе точки не совпадают с точкой B. Прямая CR пересекает `C_1` еще и в точке X, CS пересекает `C_2` в точке Y. Пусть Z - точка на прямой XY. Докажите, что SZ || QX тогда и только тогда, когда PZ || RX.
Благодарю Дилетант за помощь ...
-
-
06.06.2012 в 22:45Разные национальные олимпиады... Прямо аналог "национальных кухонь" (или кухней?))
Надо теперь выявлять, какая математическая традиция к чему тяготеет.
-
-
07.06.2012 в 05:23-
-
15.03.2020 в 20:431. Окружности $C_1$ и $C_2$ касаются внешним образом в точке $S$ и радиус $C_2$ в три раза больше радиуса $C_1.$ Пусть прямая $l$ касается $C_1$ в точке $P$ и касается $C_2$ в точке $Q,$ точки $P$ и $Q$ отличны от $S.$ Точка $T$ лежит на $C_2$ и $TQ$ --- диаметр $C_2$, точка $R$ лежит на биссектрисе угла $\angle SQT$ и на отрезке $ST.$ Докажите, что $QR = RT.$
обсуждение
2. Пару целых положительных чисел $m, n$ назовем \textit{воинственной} если существуют целые положительные числа $a, b, c, d$ такие, что $m = ab,$ $n = cd$ и $a + b = c + d.$ Например, пара 8, 9 является воинственной, так как $8 = 4 \cdot 2,$ $9 = 3 \cdot 3$ и $4 + 2 = 3 + 3.$
Будем окрашивать положительные целые числа следующим образом:
-- Начнём окрашивание с чисел 3 и 5.
-- Далее, если любое положительное целое число еще не покрашено, но оно входит в одну из уже окрашенных воинственных пар, то мы его красим. И так далее.
Найдите все целые положительные числа, которые в конечном счете будут окрашены.
обсуждение
3. Найдите наименьшее действительное число $x,$ удовлетворяющее условиям:
$[x] < [x^2] < [x^3] < ... < [x^n] < [x^{n+1}] < \ldots$
Замечание: Число $[x]$ является целой частью числа $x,$ если оно наибольшее целое число, удовлетворяющее условию $[x] \leq x < [x]+1.$
обсуждение
4. Скажем, что неотрицательное целое число $n$ “содержит” другое неотрицательное целое число $m,$ если цифры десятичной записи последнего последовательно присутствуют в десятичной записи числа $n.$ Например, число 2016 содержит числа 2, 0, 1, 6, 20, 16, 201 и 2016. Найдите наибольшее целое число $n,$ не содержащее ни одного кратного числа 7.
обсуждение
5. В таблицу $n \times n$ записаны строка за строкой, сверху вниз, по порядку слева направо, числа от 1 до $n^2.$ За одну операцию можно взять два числа, написанных в имеющих общую сторону ячейках таблицы, прибавить (или отнять) к ним одно и тоже целое число и записать результаты в таблицу. На рисунке показано применение двух операций к таблице $4 \times 4$: вычитания 7 и прибавления 5 к выделенным цветом ячейкам.
Определите, для каких $n$ возможно получить во всех ячейках таблицы число 0 после применения необходимого количества описанных выше операций и определите, если это возможно, наименьшее количество требуемых для достижения результата операций.
обсуждение
6. Дан вписанный в окружность четырёхугольник $ABCD.$ Прямая $l_1,$ параллельная $BC,$ проходит через $A$ и прямая $l_2,$ параллельная $AD,$ проходит через $B.$ Прямая $DC$ пересекает $l_1$ и $l_2$ соответственно в точках $E$ и $F.$ Перпендикуляр к $l_1$ в точке $A$ пересекает $BC$ в $P$, перпендикуляр к $l_2$ в точке $B$ пересекает $AD$ в $Q.$ Окружности $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ описывают соответственно треугольники $ADE$ и $BFC.$ Покажите, что $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ касаются в том и только том случае, когда прямая $DP$ перпендикулярна $CQ.$
обсуждение