Пусть $A,B$ и $C$ --- внутренние точки сферы $S$ такие, что $AB$ и $AC$ перпендикулярны диаметру $S$, проходящему через $A,$ и пусть можно построить две сферы, проходящие через точки $A$, $B$, и $C$, такие, что они касаются сферы $S$. Докажите, что сумма радиусов двух этих сфер равна радиусу $S$. |  |
Докажите, что существует такое натуральное число `k`, что `k * 2^n + 1` является составным для любого натурального числа `n`. | |
1
Пусть точка $A_1$ лежит внутри равностороннего треугольника $ABC$, а точка $A_2$ лежит внутри $\triangle{A_1BC}$. Докажите, что $I.Q. (A_1BC) > I.Q.(A_2BC),$ где I.Q. — изопериметрическое отношение. I.Q. фигуры $F$ определяется как $I.Q.(F) = \frac{Area (F)}{[Perimeter (F)]^2}$ | |
Первая олимпиада была проведена в 2019 году. К участию в ней были приглашены участницы, показавшие хорошие результаты в 2018 году в финалах национальной и / или региональных олимпиад.1
Пусть $S_r = x^r + y^r + z^r$, где $x, y, z$ — действительные числа. Известно, что если $S_1=0$, $(*)$ $\frac{S_{m+n}}{m+n} = \frac{S_m}{m} * \frac{S_n}{n}$ для $(m,n)=(2,3),(3,2),(2,5)$ или $(5,2)$. Определите все остальные пары целых чисел $(m,n)$, если они существуют, такие, что $(*)$ выполняется для всех действительных чисел $x,y,z$, таких, что $x+y+z=0$. | |
В партии состоят 1982 человека. Известно, что среди любой группы из четырех человек есть по крайней мере один, который знает каждого из трех других. Чему равно минимальное количество членов партии, которые знают всех остальных? | |
На листе бумаги написана система уравнений $x^2\ ?\ z^2 = -8,$ $y^2\ ?\ z^2 = 7,$ но два символа размыты. Известно, что система имеет хотя бы одно решение и вместо знаков вопроса были написаны или + или -. Что было написано на листке? |  |
Дан вписанный в окружность четырёхугольник $ABCD.$ Прямая $l_1,$ параллельная $BC,$ проходит через $A$ и прямая $l_2,$ параллельная $AD,$ проходит через $B.$ Прямая $DC$ пересекает $l_1$ и $l_2$ соответственно в точках $E$ и $F.$ Перпендикуляр к $l_1$ в точке $A$ пересекает $BC$ в $P$, перпендикуляр к $l_2$ в точке $B$ пересекает $AD$ в $Q.$ Окружности $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ описывают соответственно треугольники $ADE$ и $BFC.$ Покажите, что $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ касаются в том и только том случае, когда прямая $DP$ перпендикулярна $CQ.$ |  |
В таблицу $n \times n$ записаны строка за строкой, сверху вниз, по порядку слева направо, числа от 1 до $n^2.$ За одну операцию можно взять два числа, написанных в имеющих общую сторону ячейках таблицы, прибавить (или отнять) к ним одно и тоже целое число и записать результаты в таблицу. На рисунке показано применение двух операций к таблице $4 \times 4$: вычитания 7 и прибавления 5 к выделенным цветом ячейкам.  Определите, для каких $n$ возможно получить во всех ячейках таблицы число 0 после применения необходимого количества описанных выше операций и определите, если это возможно, наименьшее количество требуемых для достижения результата операций. | |
